Questionตอบ: 4, อ่าน: 6040, แท็ก: ถามโจทย์, กระจายทวินาม

แหม่..ทำตัวยกกำลังด้วย อ่านง่ายดีครับ :]
ทำมั่งๆ..

ข้อแรก.. (ขอบคุณเพื่อนชง *get idea* ที่ชี้แนะ)

พิจารณา 6²⁰⁰⁴ = (7-1)²⁰⁰⁴

= (²⁰⁰⁴C₀) 7²⁰⁰⁴ - (²⁰⁰⁴C₁) 7²⁰⁰³ + (²⁰⁰⁴C₂) 7²⁰⁰² - ... + (²⁰⁰⁴C₂₀₀₂) 7²

- (²⁰⁰⁴C₂₀₀₃) 7¹ + (²⁰⁰⁴C₂₀₀₄) 7⁰

และ 8²⁰⁰⁴ = (7+1)²⁰⁰⁴

= (²⁰⁰⁴C₀) 7²⁰⁰⁴ + (²⁰⁰⁴C₁) 7²⁰⁰³ + (²⁰⁰⁴C₂) 7²⁰⁰² + ... + (²⁰⁰⁴C₂₀₀₂) 7²

+ (²⁰⁰⁴C₂₀₀₃) 7¹ + (²⁰⁰⁴C₂₀₀₄) 7⁰

ดังนั้น ถ้านำมาบวกกัน.. จะมีพจน์ที่หักล้างกัน และมีพจน์ที่รวมกันเป็นสองเท่า

นั่นคือ 6²⁰⁰⁴ + 8²⁰⁰⁴ = 2 (²⁰⁰⁴C₀) 7²⁰⁰⁴ + 2 (²⁰⁰⁴C₂) 7²⁰⁰² + ... + 2 (²⁰⁰⁴C₂₀₀₂) 7²

+ 2 (²⁰⁰⁴C₂₀₀₄) 7⁰

ซึ่งจะพบว่า 49 สามารถหารลงตัวเกือบทุกพจน์ (เพราะมี 7 ยกกำลัง 2 ขึ้นไป)
ยกเว้นเพียงพจน์สุดท้าย.. 2 (²⁰⁰⁴C₂₀₀₄) 7⁰ = 2

หารด้วย 49 แล้วเหลือเศษเท่ากับ 2

สรุปข้อแรกตอบ เศษ 2 ครับ

ข้อสอง.. อันนี้ไม่รู้ใครมีสูตรลัดหรือเปล่า แต่ผมไม่นิยมครับ :]
(ลองดูว่า แบบที่ผมทำนี่พอไหวไหม..)

มอง (1 + x⁵ + x⁷) ²⁰ เป็น ((x⁵ + x⁷) + 1) ²⁰

กระจายแบบทวินาม ได้ว่า (²⁰C₀) (x⁵+x⁷)²⁰ + (²⁰C₁) (x⁵+x⁷)¹⁹ + (²⁰C₂) (x⁵+x⁷)¹⁸

+ ... + (²⁰C₁₉) (x⁵+x⁷)¹ + (²⁰C₂₀) (x⁵+x⁷)⁰

และยังต้องกระจายพจน์ด้านหลังของ (²⁰C_m) อีกครั้ง ... (m = 0,1,2,...,20)


มาหากันว่า พจน์ไหนบ้างที่มี x¹⁷

... พจน์ (x⁵+x⁷)ⁿ จะกระจายเป็น (ⁿC_r) (x^5(n-r)) (x^7r) = (ⁿC_r) x^5n+2r

ดังนั้น เราต้องการ 5n+2r = 17 ... เมื่อ n = 0,1,2,...,20 และ r = 0,1,2,...,n
ลองไล่ไปทีละตัว n = 0 จะได้ r = 8 เป็นไปไม่ได้
n = 1 จะได้ r = 6 เป็นไปไม่ได้ ... n = 2 จะได้ r = 3.5 เป็นไปไม่ได้
n = 3 จะได้ r = 1 ... ใช้ได้! ... และถ้า n = 4 ขึ้นไป จะทำให้ r ติดลบ เป็นไปไม่ได้
ดังนั้น พจน์ x¹⁷ เกิดขึ้นครั้งเดียว ที่ n = 3 และ r = 1

พจน์นั้นมีค่าเท่ากับ (³C₁) x¹⁷ ... แต่อย่าลืมว่า พจน์นี้อยู่ใน (²⁰C₁₇)

สปส. ของ x¹⁷ จึงมีค่าเท่ากับ (²⁰C₁₇) (³C₁) = 3,420


พจน์ที่มี x¹⁸ หาได้ด้วยวิธีเดียวกัน

เราต้องการ 5n+2r = 18 ... ลองไล่ค่า n ไปทีละตัว จะพบว่า ไม่มีค่าใดใช้ได้เลย
ดังนั้น สปส. ของ x¹⁸ จึงมีค่าเท่ากับ 0

ข้อสองจึงตอบ 3,420 ครับ..

:]