ถามโจทย์ครับตอบ: 3, อ่าน: 4259, แท็ก: ถามโจทย์, ลอการิทึม, อินทิเกรต

ข้อแรกติดไว้ก่อนนะครับ
ลองคิดดูเล่นๆ น่าจะตอบว่า 2002
แต่วิธียังดูมั่วๆ อยู่เลย ยังอธิบายไม่ได้อ่ะครับ..

ข้อถัดมาคิดได้แบบนี้ครับ

จาก y = 1 / ( (log₂x)² + 2 log₂x + 3)

จัดกำลังสองสมบูรณ์ที่ตัวส่วน ได้เป็น

y = 1 / ( (log₂x + 1)² + 2 )

และเนื่องจาก log₂x > 0 เสมอ (ที่ค่า x เป็นจำนวนจริงใดๆ)

จะได้ log₂x + 1 > 1

(log₂x + 1)² > 1

(log₂x + 1)² + 2 > 3

และ  1 / ( (log₂x + 1)² + 2 ) อยู่ในช่วง (0, 1/3) แน่นอนครับ

ตอบ เรนจ์คือช่วงเปิด (0, 1/3)

เพิ่งมาเห็นกระทู้นี้อีกรอบ ขอแสดงวิธีคิดข้อแรกไว้นะครับ

จากกฎสี่เหลี่ยมคางหมู ในวิชาแคลคูลัส จะได้ว่า
เมื่อตัดช่วงของพื้นที่ใต้กราฟเป็น 2001 ช่วง แล้ว..
$\int_0^1 { f(x) dx } \; \approx \; (\frac{1}{2})(\frac{1}{2001}) [ f(0) + 2f(\frac{1}{2001}) + 2f(\frac{2}{2001}) +...+ 2f(\frac{2000}{2001}) + f(1) ]$

ดังนั้นเราจึงคำนวณหาค่า $\int_0^1 { f(x) dx }$ ก่อน
$\int_0^1 { \left( \frac{4^x}{4^x +2} \right) dx } \; = \; \int_0^1 { \left( \frac{4^x}{4^x +2} \right) \cdot \frac{d(4^x +2)}{4^x ln4} }$

                        $= \; \frac{1}{ln 4} \: \int_0^1 { \left( \frac{1}{4^x +2} \right) d(4^x +2) }$

                       $= \; \left. \frac{ln(4^x +2)}{ln 4} \, \right| _0^1$

                       $=\; \frac{ln6-ln3}{ln 4}  \qquad = \frac{ln2}{ln 4}  \qquad  = \frac{ln2}{2 ln 2}  \qquad = \frac{1}{2}$

แสดงว่า..
$(\frac{1}{2})(\frac{1}{2001}) [ f(0) + 2f(\frac{1}{2001}) + 2f(\frac{2}{2001}) +...+ 2f(\frac{2000}{2001}) + f(1) ] \; \approx \; \frac{1}{2}$
                $[ f(0) + 2f(\frac{1}{2001}) + 2f(\frac{2}{2001}) +...+ 2f(\frac{2000}{2001}) + f(1) ] \; \approx \; 2001$
           $\therefore \; 2 \, [ f(0) + f(\frac{1}{2001}) + f(\frac{2}{2001}) +...+ f(\frac{2000}{2001}) + f(1) ] \; \approx \; 2001 + f(0) + f(1)$
                                                                                              $= \, 2001 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \, = 2002$