โจทย์ครับตอบ: 4, อ่าน: 6802, แท็ก: ถามโจทย์, อุปนัยทางคณิตศาสตร์

ไปเอาที่ไหนมา

Let P(x,y,z) = 6 (x^5 + y^5 + z^5) - 5 (x^3 + y^3 + z^3) (x^2 +y^2 +z^2), a = x+y+z, b = yz+zx+xy, and c = xyz.
S(k) = x^k+y^k+z^k.
S(1) = a, S(2)= a S(1)- 2 b = a^2 - 2 b, S(3) = a S(2) - b S(1) + 3 c = a^3 - 3 a b + 3 c, and for any k>3, S(k) = a S(k-1) - b S(k-2) + c S(k-3).
Thus, S(4) = a^4 - 4 a^2 b + 4ac + 2b^2, and S(5) = a^5 - 5 a^3 b + 5 a b^2 - 5 b c.
Therefore, P = 6 (a^5 - 5 a^3 b + 5 a b^2 - 5 b c) - 5 (a^3 - 3 a b + 3 c)(a^2 - 2 b)
Thence, P = 6 (a^5 - 5 a^3 b + 5 a b^2 - 5 b c) - 5 (a^5 - 5 a^3 b + 6 a b^2 + 3 a^2 c - 6 b c).
i.e. P = 5 a^5 - 5 a^3 b - 15 a^2 c = 5 a^2 (a^3 - a b - 3 c), and we are done.


ข้างบนนี้หมายความว่าไงครับ ช่วยแปลให้หน่อย