กระทู้ที่ 0072
วิธีพิมพ์สมการในกระทู้
ตั้งกระทู้ใหม่

โจทย์ครับตอบ: 4, อ่าน: 6002, แท็ก: ถามโจทย์, อุปนัยทางคณิตศาสตร์

จงแสดงว่า (x+y+z)2 เป็นตัวประกอบของ 6(x5+y5+z5) - 5(x3+y3+z3)(x2+y2+z2)
เล้ง 28/10/48 22:25 
ไปเอาที่ไหนมา
นานา ไรบีนา 29/10/48 15:36  [ 1 ] 
ยังคิดไม่ออกครับข้อนี้
..แต่ลองหาผลหารด้วยคอมฯ ได้เป็น

x3+y3+z3-2x2y-2x2z-2y2z-2y2x-2z2x-2z2y+6xyz

พยายามหาวิธี ไม่ว่าจะทฤษฎีเศษ, ตั้งหารยาว แล้วก็ยังไม่สำเร็จซะที
ก็เลยเอาผลหารมาให้ดูก่อนครับ เผื่อจะนึกวิธีออก..
นวย 15/11/48 13:47  [ 2 ] 
Let P(x,y,z) = 6 (x^5 + y^5 + z^5) - 5 (x^3 + y^3 + z^3) (x^2 +y^2 +z^2), a = x+y+z, b = yz+zx+xy, and c = xyz.
S(k) = x^k+y^k+z^k.
S(1) = a, S(2)= a S(1)- 2 b = a^2 - 2 b, S(3) = a S(2) - b S(1) + 3 c = a^3 - 3 a b + 3 c, and for any k>3, S(k) = a S(k-1) - b S(k-2) + c S(k-3).
Thus, S(4) = a^4 - 4 a^2 b + 4ac + 2b^2, and S(5) = a^5 - 5 a^3 b + 5 a b^2 - 5 b c.
Therefore, P = 6 (a^5 - 5 a^3 b + 5 a b^2 - 5 b c) - 5 (a^3 - 3 a b + 3 c)(a^2 - 2 b)
Thence, P = 6 (a^5 - 5 a^3 b + 5 a b^2 - 5 b c) - 5 (a^5 - 5 a^3 b + 6 a b^2 + 3 a^2 c - 6 b c).
i.e. P = 5 a^5 - 5 a^3 b - 15 a^2 c = 5 a^2 (a^3 - a b - 3 c), and we are done.


ข้างบนนี้หมายความว่าไงครับ ช่วยแปลให้หน่อย
เล้ง 24/11/48 00:10  [ 3 ] 
โอ๊ะ..😨 ขอโทษนะครับ เพิ่งมาเห็นข้อความก็ผ่านมาปีนึงแล้ว..

วิธีที่เฉลยมานี้เป็น "การพิสูจน์แบบอุปนัย" ครับ (นั่นคือโจทย์ข้อนี้กวนจริงๆ)
อ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในหนังสือเรียนวิชา Calculus1 ครับ..
นวย 08/12/49 02:27  [ 4 ] 
วิธีพิมพ์สมการดูได้ที่กระทู้ 0072 ครับ      
อัปโหลดรูป/ไฟล์
ถ้าไม่มีรหัสส่วนตัว กรุณาใส่เลขหน้า "ความน่าจะเป็น" ใน Math E-Book .. หรือตั้งรหัสได้ ที่นี่

ทดลองพิมพ์สมการ