Zeta Functionตอบ: 4, อ่าน: 4445, แท็ก: ถามโจทย์, อนุกรม, อธิบาย, zeta function

ผมก็ไม่เคยเห็นคำนี้มาก่อนเหมือนกันครับ
แต่จากที่ดูในกระทู้นั้นแล้ว และลองค้นข้อมูลดู
ก็พบว่า..

Zeta function ย่อมาจาก Riemann Zeta function หรือ Hurwitz Zeta function
(รีมันน์ กับเฮอร์วิส นี่ชื่อคนนะครับ)
กำหนดโดย n เป็น 0 หรือจำนวนนับใดๆ

Riemann Zeta function
Zeta(n) = sum(1/i^n) เมื่อ i=1..อินฟินิตี้

อย่างเช่น Zeta(7) = sum(1/i^7) เมื่อ i=1..อินฟินิตี้
ซึ่งก็คือ 1/1^7 + 1/2^7 + 1/3^7 + 1/4^7 + ... เท่านี้แหละครับ..
ในกระทู้เดิมนั้นใช้คำว่า Zeta(7) เพื่อจะได้ทดเลขสั้นลงครับ..

ส่วน Hurwitz Zeta function จะอยู่ในรูป
Zeta(n,m) = sum(1/(i+m)^n) เมื่อ i=1..อินฟินิตี้
(m คือจำนวนนับใดๆ)
เรียกได้อีกอย่างว่า "รูปทั่วไปของ Zeta function"

ถามว่า Zeta function เอาไปใช้เมื่อไหร่
อันนี้ผมก็ไม่รู้ครับ เรียนไม่ถึงครับ.. หงิ่ว :]


ป.ล. สัญลักษณ์ Zeta คืออักษรกรีกตัวนี้ครับ
$$Zeta(7) = \zeta(7) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^7}$$

อาจจะพิมพ์ไม่ค่อยสวย เลยดูงงอ่ะครับ
มันเป็นงี้ครับ..
ให้หาค่าของ.. $$\frac{{1\over1^7}+{1\over3^7}+{1\over5^7}+{1\over7^7}+...}{{1\over2^7}+{1\over4^7}+{1\over6^7}+{1\over8^7}+...}$$
ผมเห็นว่าถ้าตัวส่วนถูกเอาไปบวกไว้ข้างบนด้วย จะได้เลขเรียงกันสวยงาม..
ก็เลยลองบวกดูครับ โดยเอาตัวส่วนมาทำเป็นทั้งเศษและส่วน แล้วบวกเข้าไป
แต่เวลาบวกเข้าไปแล้วต้องลบออกด้วย (ลบออกด้วย 1 เพราะเศษกับส่วนเหมือนกัน จึงมีค่าเป็น 1)
$$= \frac{{1\over1^7}+{1\over3^7}+{1\over5^7}+{1\over7^7}+...}{{1\over2^7}+{1\over4^7}+{1\over6^7}+{1\over8^7}+...}+\frac{{1\over2^7}+{1\over4^7}+{1\over6^7}+{1\over8^7}+...}{{1\over2^7}+{1\over4^7}+{1\over6^7}+{1\over8^7}+...}-1$$
จากนั้นรวมเศษส่วนเข้าด้วยกัน เรียงเลขให้สวยงาม
$$= \frac{{1\over1^7}+{1\over2^7}+{1\over3^7}+{1\over4^7}+{1\over5^7}+...}{{1\over2^7}+{1\over4^7}+{1\over6^7}+{1\over8^7}+...}-1$$
แล้วผมก็เห็นทางออก เพราะตัวส่วนซึ่งมีแต่เลขคู่นั้น
ถ้าเราดึง 2 กำลัง 7 ออกมา ก็จะได้ผลเหมือนตัวเศษเป๊ะ
$$= \frac{{1\over1^7}+{1\over2^7}+{1\over3^7}+{1\over4^7}+{1\over5^7}+...}{({1\over2^7})({1\over1^7}+{1\over2^7}+{1\over3^7}+{1\over4^7}+...)}-1$$
แล้วก็เอาในวงเล็บยาวๆ ทั้งเศษและส่วนมาตัดกัน เหลือแค่นี้ครับ
$$= \frac{1}{1\over2^7}-1$$
$$= {2^7}-1 = 127$$