อินทิเกรตคร้าบตอบ: 3, อ่าน: 9982, แท็ก: ถามโจทย์, อินทิเกรต, กระจายเทย์เลอร์, maple

จากที่เคยเรียน calculus ผมยังไม่เจอวิธีอินทิเกรตแบบตรงๆ เลยครับ..
(หมายถึงว่า อินทิเกรตออกมาเป็นฟังก์ชันในรูป x ไม่ได้)
แต่บังเอิญถามอินทิกรัลจำกัดเขต จาก 0 ถึง pi/2
ผมก็เลยสรรหาวิธีเลี่ยงมาหลายๆ แบบ ดังนี้ครับ..

(1) ใช้ผลบวกรีมันน์
$$ \int_0^{\pi/2} e^{\sin x} dx = \lim_{n\to\infty} {\pi\over{2n}} {\sum_{i=1}^n {e^{\sin{{i\pi}\over{2n}}}}} $$
แต่ไอ้ตัวซิกม่า e^sin เนี่ย มันก็หาออกมาไม่ได้อยู่ดี วิธีนี้จึงพับไป..
(ถ้ามันหาซิกม่าออก ก็คงอินทิเกรตตรงๆ ได้แต่แรกแล้วล่ะครับ)

(2) กระจายฟังก์ชันเป็นพหุนามซะเลย
(ใช้คอมช่วยทำครับ.. เพราะผมลืมไปหมดแล้ว)
$$ e^{\sin x} = 1+x+{{x^2}\over{2}}-{{x^4}\over{8}}-{{x^5}\over{15}}-{{x^6}\over{240}}+{{x^7}\over{90}}+R(x) $$
ดังนั้น ผลลัพธ์จะได้ประมาณ
$$ {\pi\over{2}}+{{\pi^2}\over{8}}+{{\pi^3}\over{48}}-{{\pi^5}\over{128}}-{{\pi^6}\over{5760}}-{{\pi^7}\over{215040}}+{{\pi^8}\over{184320}} \approx 3.082 $$
วิธีนี้โหดไปหน่อย เพราะถ้ากระจายสั้นเกินก็จะคลาดเคลื่อนมาก..

(3) โกงสุดๆ กดเครื่องคิดเลขครับ.. :P
ผมใช้เครื่อง Casio fx-570W (รุ่นยอดฮิตสมัยยังเรียนอยู่)..
ซึ่งใช้วิธีประมาณพื้นที่ ได้คำตอบประมาณ 3.1044

(4) วาดกราฟในกระดาษกราฟ แล้วกะขนาดพื้นที่เอง
เส้นกราฟเริ่มจากคู่อันดับ (0,1) ไปถึง (pi/2,e) ใช่มั้ยครับ
ถ้าลากเส้นตรงเชื่อมสองจุดนี้ จะได้
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = (1/2) * (pi/2) * (1+e) = 2.9203
แต่เนื่องจากรูปกราฟเป็นเส้นโค้งๆ นูนๆ ขึ้นมาหน่อย
เพราะฉะนั้นพื้นที่ก็ต้องมากกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูนี้เล็กน้อย
ก็ประมาณเอาตามอัธยาศัยครับ..

:]

สืบเนื่องจากกระทู้ที่ 124 ครับ..
ขอเพิ่มเติมผลจากโปรแกรม Maple สำหรับกระทู้นี้ครับ

คิดโดยกระจายเป็นพหุนามก่อน


คำตอบที่แท้จริงเท่ากับเท่านี้ครับ..


:]