กำลังโหลด

    กระทู้ที่ 0183
O-Net สนทนา (9) .. ระบบจำนวนจริง (การบ้าน)
ตั้งกระทู้ใหม่

ข้อสอบโควต้า ขอนแก่นตอบ: 12, อ่าน: 13681, แท็ก: ถามโจทย์, ระบบจำนวนจริง, ฟังก์ชัน, เวกเตอร์, ทฤษฎีกราฟ, จำนวนเชิงซ้อน, สถิติ, ทฤษฎีจำนวน

พี่นวยช่วยเฉลยด้วยครับ

1. กำหนดให้ x, y เป็นจำนวนจริง
ข้อใดต่อไปนี้เป็นเงื่อนไขที่ทำให้ $\left| {x - y} \right| = \left| x \right| + \left| y \right|$  (ขอวิธีตรง)
    $1.\,\,x + y \ge 0 \qquad \qquad 2.\,\,x + y \le 0$
    $3.\,\,xy \ge 0 \qquad \qquad 4.\,\,xy \le 0$

2. ฟังก์ชัน f ในข้อใดต่อไปนี้ มีสมบัติ fof=f
    $1.\,f = \left\{ {\left( {1,2} \right),\left( {2,2} \right),\left( {3,2} \right),\left( {4,5} \right),\left( {5,4} \right)} \right\}$
    $2.\,f = \left\{ {\left( {1,3} \right),\left( {2,3} \right),\left( {3,3} \right),\left( {4,3} \right),\left( {5,1} \right)} \right\}$
    $3.\,f = \left\{ {\left( {1,4} \right),\left( {2,5} \right),\left( {3,3} \right),\left( {4,4} \right),\left( {5,2} \right)} \right\}$
    $4.\,f = \left\{ {\left( {1,5} \right),\left( {2,3} \right),\left( {3,3} \right),\left( {4,5} \right),\left( {5,5} \right)} \right\}$

3. ให้  $ \vec{u},\,\vec{v},\,\vec{w}$  เป็นเวกเตอร์ใดๆในสามมิติ ข้อใดต่อไปนี้ถูก
    $1.\,\left( {\vec{u} \times \vec{v}} \right)\vec{w} = \vec{u}\left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right)$
    $2.\,\left( {\vec{u} \times \vec{v}} \right) \times \vec{w} = \vec{u}\left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right)$
    $3.\,\,\vec{u} \cdot \left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right) = \left( {\vec{u} \times \vec{v}} \right)\left( {\vec{u} \times \vec{w}} \right)$
    $4.\,\,\vec{u} \times \left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right) = \left( {\vec{u}\times \vec{v}} \right) \times \left( {\vec{u} \times \vec{w}} \right)$

4. พิจารณาตารางสี่เหลี่ยมขนาด 3*3 ดังรูป
(วาดรูปไม่ได้ ประมาณว่า ตาราง 3*3= 9 ช่อง)
ถ้าใช้ดินสอลากตามเส้นที่เป็นด้านต่างๆของรูปสี่เหลี่ยมรูปเล็กๆให้ครบทุกเส้น
โดยต้องกลับมาที่จุดเริ่มต้น และไม่ลากเส้นซ้ำเดิมที่เคยลากผ่านไปแล้ว
ข้อใดต่อไปนี้เป็นจำนวนครั้งน้อยที่สุดที่ต้องยกดินสอขึ้น
    1. 3                                   2. 4
    3. 5                                   4. 6

5. ให้ z เป็นจำนวนเซิงซ้อนและ Re(z), Im(z) แทนส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ z ตามลำดับ
ถ้า $\left| z \right| + z = 1 - 3i$   แล้ว  Re(z) + Im(z) อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้
    $1.\left( { - 10, - 5} \right] \qquad \qquad 2.\left( { - 5,0} \right]$
    $3.\left( {0,5} \right]  \qquad \qquad 4.\left( {5,10} \right]$

6. ให้ x1, x2, x3, ..., x9  เป็นข้อมูลชุดแรก  โดย$$\sum\limits_{i = 1}^9 {(X_i  - 10)^2 } = 45\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^9 {(X_i  - 17)} =  -54$$ถ้าให้ $\mu,\,\,\sigma^2$ คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของข้อมูลชุดแรก
และ y1, y2 , y3, ..., y14  เป็นข้อมูลชุดที่สอง ซึ่งเรียงจากน้อยไปหามากและเป็นลำดับเลขคณิต
ซึง $y_1 = \mu$  และผลต่างร่วมเท่ากับ $\sigma^2$ แล้ว
ข้อใดต่อไปนี้เป็นควอไทล์ที่สามของข้อมูลชุดที่สุอง
    1. 51                                 2. 52
    3. 61.25                            4. 62.25

7. จงหาจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 5 และหารด้วย 7 แล้วเหลือเศษ 3  (อัตนัย)

8. ในการหา ห.ร.ม. ของ 233 กับ 377 โดยใช้ขั้นตอนของยุคลิด
จงหาผลบวกของเศษสองตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0  (อัตนัย)

9. ให้  $\vec{w}$  เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ
$\vec{u} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j} + 5 \vec{k}$  และ  $\vec{v} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 3 \vec{k}$
ถ้า  $\vec{r} = \vec{i} + \vec{j} - \vec{k}$  แล้ว มุมระหว่างเวกเตอร์  w  กับ r (ให้ตอบเป็นองศา)  (อัตนัย)

10. เทศบาลลนครขีดหินมีหลอดไฟตามเสาไฟในที่สาธารณะที่ต้องรับผิดชอบ 1200 หลอด
โดยหลอดไฟเหล่านี้ต้องเปิดทุกวันตลอดปี ระหว่างเวลา 18.00-06.00 น.
ถ้าอายุการใช้งานของหลอดไฟมีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 2500 ชม.
และ ส.ป.ส การแปรผัน เท่ากับ 0.08  จงหาจำนวนประมาณของหลอดไฟที่คาดว่าเทศบาลนครขีดหิน
จะต้องเปลี่ยนใหมระหว่าง 6 เดือน ถึง 8 เดือน หากถือว่าเดือนหนึ่งประกอบด้วย 30 วัน
และพื้นที่ใต้เส้นโค้งมาตรฐานระหว่าง 0 ถึง z เป็นดังนี้
z         1.62       1.70        1.83        1.90
พื้นที่   0.4474     0.4554   0.4664  0.4713
นาย ก 07/07/50 16:01 
ข้อ 10 คิดได้  1113  ไม่รู้ถูกหรือเปล่า
พี่นวยช่วยด้วย
นาย ก 07/07/50 16:02  [ 1 ] 
ข้อ 1. ทางซ้ายมือคือ | x-y | จะถอดได้สองแบบคือ
เป็น x-y หรือเป็น y-x ก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่า x และ y ใครมากกว่ากัน
..เส้นตรง x=y คือเส้นเฉียงขึ้น 45องศา ผ่านจุดกำเนิด

ดังนั้น ด้านบนของเส้นนี้ (ครอบคลุม Q2 และครึ่งนึงของ Q1, Q3) จะได้ x-y < 0
สมการโจทย์จึงเป็น y-x = |x|+|y|
ซึ่งด้านขวาจะถอดได้เหมือนด้านซ้าย ก็เมื่อ x ติดลบ และ y เป็นบวก
นั่นคือ Q2 ตลอดทั้งบริเวณนั่นเองครับ

ส่วนด้านล่างของเส้นนี้ก็คิดในทำนองเดียวกัน
พบว่าสมการโจทย์ x-y = |x|+|y| เป็นจริงใน Q4 ตลอดทั้งบริเวณ
ดูไปดูมาก็ต้องตอบข้อ 4. ครับ

-----------------------------------------

ข้อ 2. ข้อนี้ไม่ยากครับ ลองเขียน fof ออกมาก็รู้เอง
ข้อนี้ตอบข้อ 4. เช่นกันครับ

-----------------------------------------

ข้อ 3. ข้อนี้ตอบ 1. ครับ ถ้ายังจำวิธีหาปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนานได้ ว่ามันเกิดจาก det
และการสลับที่ในรูปแบบที่ตัวเลือกข้อ 1. บอกมานั้น
จะไม่ทำให้ det เปลี่ยนแปลงครับ (สมบัติของ det)

-----------------------------------------

ข้อ 4. งงครับ ขอติดไว้ก่อนครับ

-----------------------------------------

ข้อ 5. สมมติ z = a + bi
จะได้สมการคือ รู้ท(a2+b2) + a + bi = 1 - 3i

จับส่วนจินตภาพเท่ากัน จะได้ b = -3 ทันทีเลย
จากนั้นจับส่วนจริงเท่ากัน โดยแทนค่า b ลงไปด้วย
แล้วแก้โดยยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ a = -4
ดังนั้น คำตอบคือ a+b = -7 จะอยู่ในช่วงข้อ 1. ครับ

-----------------------------------------

ข้อ 6. จาก ซิกม่า(X-17) = ซิกม่าX - 17(9) = -54
จะได้ ซิกม่าX = -54 + 153 = 99
ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (มิว) = 99/9 = 11

จาก ซิกม่า(X-10)2 = ซิกม่า((X-11)+1)2 = 45
จะได้ ซิกม่า(X-11)2 + 2ซิกม่า(X-11) + 1(9) = 45
แต่ว่า ซิกม่า(X-11) = 0 แน่นอน เพราะ 11 คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต (จากสมบัติ)
ดังนั้น ซิกม่า(X-11)2 = 45 - 9 = 36
จึงได้ ความแปรปรวน = 36/9 = 4

ลำดับในข้อนี้ก็คือ 11, 15, 19, 23, ...,พจน์ที่14
Q3 อยู่ตำแหน่ง (3/4)(15) = 11.25
ตำแหน่งที่ 11 มีค่า 11+10(4)=51 แสดงว่าถัดไปคือ 55
และ Q3 ก็มีค่าเท่ากับ 52 นั่นเองครับ.. (ตอบข้อ 2.)

-----------------------------------------

ข้อ 7. สมมติจำนวนนั้นคือ a
จะได้ a = 6n+5 และ a = 7m+3 ด้วย (โดย n,m เป็นจำนวนนับ)
ดังนั้นจะได้ m = (6n+2)/7
ซึ่งพบว่า จำนวนนับ n ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้อง (คือทำให้ m เป็นจำนวนนับด้วย) คือ n=2
(และจะได้ m=2)
..จึงได้คำตอบ a = 17 ครับข้อนี้

-----------------------------------------

ข้อ 8. เริ่มจาก 377 = 233(1) + 144
233 = 144(1) + 89
144 = 89(1) + 55
... ทำไปเรื่อยๆ นะครับ จะไปถึงบรรทัด 8 = 5(1) + 3
5 = 3(1) + 2
3 = 2(1) + 1
และจบที่ 2 = 1(2) เศษ 0
ดังนั้นคำตอบคือ 1+2 (ที่ทำตัวหนาไว้) = 3 นั่นเอง..

-----------------------------------------

ข้อ 9. หาทิศทางของเวกเตอร์ w ได้โดยนำ u ครอสกับ v
จะได้ผลเป็น - i - j + k
นั่นแสดงว่าเวกเตอร์ w ตามเงื่อนไขในโจทย์ จะอยู่ในรูป c (- i - j + k)
โดย c เป็นจำนวนจริงใดๆ (ที่ไม่ใช่ 0 นะครับ) ซึ่งเป็นบวกหรือติดลบก็ได้

ดังนั้นคำตอบข้อนี้คือ 0 หรือ 180 องศา ครับผม (ต้องตอบทั้งสองคำตอบ)

-----------------------------------------

ข้อ 10. ค่าเฉลี่ย 2500 ช.ม. และ SD 0.08*2500 = 200 ช.ม.
ให้คำนวณที่ช่วง 6 ถึง 8 เดือน
คิดเป็นชั่วโมงได้ 2160 ถึง 2880 ช.ม. (ต้องคิดว่า 1 วันมี 12 ช.ม.)
แปลงเป็นค่ามาตรฐาน (z) ได้ -1.7 ถึง 1.9

พื้นที่แรเงาระหว่างช่วงนั้นคือ 0.4554 (ซ้าย) + 0.4713 (ขวา) = 0.9267
แสดงว่ามีหลอดไฟที่ใช้งานได้ระยะเวลาในช่วงนี้ อยู่ 0.9267*1200 = 1112 หลอด
..ตอบ 1112 นะครับ (ไม่ใช่ 1113)

-----------------------------------------
นวย 10/07/50 20:13  [ 2 ] 
ขอบคุณครับ
(ช่วยคิดข้อ 4 ด้วย)
นาย ก 11/07/50 14:08  [ 3 ] 
ข้อ 4. น่าจะใช้ "ทฤษฎีกราฟ" ในการคิด แต่ผมลองลากดูแล้วยังงงๆ ตรงเงื่อนไข
ที่บอกว่า ต้องลากกลับมาที่จุดเริ่มต้นด้วย.. ผมว่ามันเป็นไปไม่ได้นะครับ..

อธิบายตามทฤษฎีก็คือ ..รูปที่ให้มานี้ มีจุดยอดทั้งหมด 16 จุด
ซึ่งมีดีกรี 2 อยู่ 4 จุด, มีดีกรี 3 อยู่ 8 จุด, มีดีกรี 4 อยู่ 4 จุด
การลากเส้นให้กลับมาที่จุดเริ่มต้นในแต่ละรูป แสดงว่าทางเดินที่เราลากนั้นต้องมีทุกๆ จุดเป็นจุดยอดคู่ (กราฟออยเลอร์)
มันจะไปมีปัญหาตรง 8 จุด ที่มีดีกรี 3 นั่นแหละครับ
ไม่ว่าจะลากยังไงจะไปตายตรงมุมนั้นตลอด.. ไม่สามารถลากกลับไปยังจุดเริ่มต้นได้..

ก็เลยคิดว่า ข้อนี้ถ้าโจทย์ไม่ผิดก็ขอยอมแพ้ครับ 😁
นวย 11/07/50 21:51  [ 4 ] 
โจทย์ข้อ 4 ไม่ผิดแน่นอนครับ

นาย ก 12/07/50 19:57  [ 5 ] 
งั้นข้อนี้ทำไม่เป็นจริงๆ ครับ.. 🤕
(หรือช่วยลากเป็นตัวอย่างให้ดูซักแบบได้ไหมครับ ผมจะได้เข้าใจโจทย์)

ใครคิดข้อ 4. ออก ช่วยหน่อยครับ..
นวย 12/07/50 20:23  [ 6 ] 
ข้อ 4 มีคนเฉลยแล้วครับ แต่อ่านแล้วก็ยังไม่ get
ตามลิงค์
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=2962
นาย ก 14/07/50 19:01  [ 7 ] 
ไปดูแล้วครับ ลากทับเส้นเดิมเห็นๆ ครับ 🤨
นวย 14/07/50 23:55  [ 8 ] 
ไปดูมาอีกทีแล้วครับ.. ไม่ลากทับเส้นเดิมแล้วก็จริง
แต่ไม่เห็นว่าจะ "ลากกลับมาที่จุดเริ่มต้น" เลย (ในการลากครั้งที่ 2 เป็นต้นไป)

ก็ยังขอสรุปในขณะนี้ว่า เป็นไปไม่ได้ (ถ้าโจทย์ไม่ผิด) อยู่เช่นเดิมครับ
คุณ "นาย ก" มีเฉลยที่ถูกต้องหรือยัง ช่วยเอามาบอกบ้างครับ.. มันคาใจอ่ะ 😄
นวย 19/07/50 00:19  [ 9 ] 
ขออนุญาตตอบเสริมอีกซัก 1 ที ก็แล้วกันครับ
จะได้เข้าใจวิธีคิด โดยไม่ต้องมานั่งสงสัยว่าโจทย์ผิดหรือไม่ผิดกันแน่..

ถ้าสมมติว่าเปลี่ยนเงื่อนไขของโจทย์ไปเป็นแบบต่างๆ จะได้คำตอบดังนี้..
1. ถ้าต้องลากกลับมาที่เดิมทุกครั้ง = คำตอบคือ เป็นไปไม่ได้ เพราะมันมีจุดยอดคี่

2. ถ้าให้ลากกลับมาที่เดิมเฉพาะครั้งแรกก็พอ = คำตอบคือ ลากอย่างน้อย 5 ครั้ง
(หมายความว่า ยกดินสอขึ้น 4 ครั้ง นั่นคือตอบข้อ 2.)
ลากครั้งแรกให้กินจุดยอดคู่วนกลับมาที่เดิมก่อน ตรงไหนก็ได้
จากนั้นลากเชื่อมจุดยอดคี่ทั้ง 8 จุด โดยให้จุดนึงเป็นจุดเริ่ม อีกจุดเป็นจุดสิ้นสุด
จึงต้องลากอีก 4 ครั้ง

เช่น ครั้งแรก ลากกรอบสี่เหลี่ยมใหญ่ 1 กรอบ
ครั้งสอง สาม ลากเส้นแนวตั้งอีกสองเส้น
ครั้งสี่ ห้า ลากเส้นแนวนอนอีกสองเส้น

3. ถ้าไม่ต้องลากกลับมาที่เดิมเลยก็ได้ = คำตอบคือ ลากอย่างน้อย 4 ครั้ง
(หมายความว่า ยกดินสอขึ้น 3 ครั้ง นั่นคือตอบข้อ 1.)
ก็คิดจากการลากเชื่อมจุดยอดคี่ทั้ง 8 จุด โดยให้จุดนึงเป็นจุดเริ่ม อีกจุดเป็นจุดสิ้นสุด
(เหมือนเดิมแหละครับ) จึงต้องลากทั้งหมด 4 ครั้ง

เช่น ครั้งแรกลากจากจุดที่ 2 (มองเป็นจุดยอด 16 จุด)
ลงสุด ซ้าย ขึ้นสุด ขวาสุด ลงสุด ซ้าย ขึ้นสุด
ครั้งสอง สาม ลากเส้นแนวนอนยาว
ครั้งสี่ ลากเส้นแนวนอนสั้น ที่อยู่ล่างสุดที่ยังไม่ได้ลาก

ตามนี้ครับ 😄
นวย 20/07/50 12:32  [ 10 ] 
ยังไม่มีคำตอบที่ถูกเลยครับ ต้องถามอาจารย์คณะวิทย์ ม.ขอนแก่น
แต่คำตอบน่าจะอยู่ใน 3 case ที่พี่นวยกล่าวถึงแน่นอน

เป็นการวิเคราะห์ที่ลึกซึ้งมากครับ

นาย ก 20/07/50 18:58  [ 11 ] 
>> เป็นการวิเคราะห์ที่ลึกซึ้งมากครับ

แล้วก็ครอบจักรวาลดีด้วยครับ ตอบยังไงก็ถูกแน่ๆ.. 5555 😁
นวย 20/07/50 21:40  [ 12 ] 
วิธีพิมพ์สมการดูได้ที่กระทู้ 0072 ครับ      
แปะรูป/ไฟล์
ถ้าไม่มีรหัสส่วนตัว กรุณาใส่เลขหน้า "ความน่าจะเป็น" ใน Math E-Book .. หรือตั้งรหัสได้ ที่นี่

ทดลองพิมพ์สมการ