พี่นวยช่วยเฉลยด้วยครับ
1. กำหนดให้ x, y เป็นจำนวนจริง
ข้อใดต่อไปนี้เป็นเงื่อนไขที่ทำให้
$\left| {x - y} \right| = \left| x \right| + \left| y \right|$ (ขอวิธีตรง)
$1.\,\,x + y \ge 0 \qquad \qquad 2.\,\,x + y \le 0$
$3.\,\,xy \ge 0 \qquad \qquad 4.\,\,xy \le 0$
2. ฟังก์ชัน f ในข้อใดต่อไปนี้ มีสมบัติ fof=f
$1.\,f = \left\{ {\left( {1,2} \right),\left( {2,2} \right),\left( {3,2} \right),\left( {4,5} \right),\left( {5,4} \right)} \right\}$
$2.\,f = \left\{ {\left( {1,3} \right),\left( {2,3} \right),\left( {3,3} \right),\left( {4,3} \right),\left( {5,1} \right)} \right\}$
$3.\,f = \left\{ {\left( {1,4} \right),\left( {2,5} \right),\left( {3,3} \right),\left( {4,4} \right),\left( {5,2} \right)} \right\}$
$4.\,f = \left\{ {\left( {1,5} \right),\left( {2,3} \right),\left( {3,3} \right),\left( {4,5} \right),\left( {5,5} \right)} \right\}$
3. ให้
$ \vec{u},\,\vec{v},\,\vec{w}$ เป็นเวกเตอร์ใดๆในสามมิติ ข้อใดต่อไปนี้ถูก
$1.\,\left( {\vec{u} \times \vec{v}} \right)\vec{w} = \vec{u}\left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right)$
$2.\,\left( {\vec{u} \times \vec{v}} \right) \times \vec{w} = \vec{u}\left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right)$
$3.\,\,\vec{u} \cdot \left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right) = \left( {\vec{u} \times \vec{v}} \right)\left( {\vec{u} \times \vec{w}} \right)$
$4.\,\,\vec{u} \times \left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right) = \left( {\vec{u}\times \vec{v}} \right) \times \left( {\vec{u} \times \vec{w}} \right)$
4. พิจารณาตารางสี่เหลี่ยมขนาด 3*3 ดังรูป
(วาดรูปไม่ได้ ประมาณว่า ตาราง 3*3= 9 ช่อง)
ถ้าใช้ดินสอลากตามเส้นที่เป็นด้านต่างๆของรูปสี่เหลี่ยมรูปเล็กๆให้ครบทุกเส้น
โดยต้องกลับมาที่จุดเริ่มต้น และไม่ลากเส้นซ้ำเดิมที่เคยลากผ่านไปแล้ว
ข้อใดต่อไปนี้เป็นจำนวนครั้งน้อยที่สุดที่ต้องยกดินสอขึ้น
1. 3 2. 4
3. 5 4. 6
5. ให้ z เป็นจำนวนเซิงซ้อนและ Re(z), Im(z) แทนส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ z ตามลำดับ
ถ้า
$\left| z \right| + z = 1 - 3i$ แล้ว Re(z) + Im(z) อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้
$1.\left( { - 10, - 5} \right] \qquad \qquad 2.\left( { - 5,0} \right]$
$3.\left( {0,5} \right] \qquad \qquad 4.\left( {5,10} \right]$
6. ให้ x1, x2, x3, ..., x9 เป็นข้อมูลชุดแรก โดย
$$\sum\limits_{i = 1}^9 {(X_i - 10)^2 } = 45\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^9 {(X_i - 17)} = -54$$ถ้าให้
$\mu,\,\,\sigma^2$ คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของข้อมูลชุดแรก
และ y1, y2 , y3, ..., y14 เป็นข้อมูลชุดที่สอง ซึ่งเรียงจากน้อยไปหามากและเป็นลำดับเลขคณิต
ซึง
$y_1 = \mu$ และผลต่างร่วมเท่ากับ
$\sigma^2$ แล้ว
ข้อใดต่อไปนี้เป็นควอไทล์ที่สามของข้อมูลชุดที่สุอง
1. 51 2. 52
3. 61.25 4. 62.25
7. จงหาจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 5 และหารด้วย 7 แล้วเหลือเศษ 3 (อัตนัย)
8. ในการหา ห.ร.ม. ของ 233 กับ 377 โดยใช้ขั้นตอนของยุคลิด
จงหาผลบวกของเศษสองตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ 0 (อัตนัย)
9. ให้
$\vec{w}$ เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ
$\vec{u} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j} + 5 \vec{k}$ และ
$\vec{v} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 3 \vec{k}$
ถ้า
$\vec{r} = \vec{i} + \vec{j} - \vec{k}$ แล้ว มุมระหว่างเวกเตอร์ w กับ r (ให้ตอบเป็นองศา) (อัตนัย)
10. เทศบาลลนครขีดหินมีหลอดไฟตามเสาไฟในที่สาธารณะที่ต้องรับผิดชอบ 1200 หลอด
โดยหลอดไฟเหล่านี้ต้องเปิดทุกวันตลอดปี ระหว่างเวลา 18.00-06.00 น.
ถ้าอายุการใช้งานของหลอดไฟมีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 2500 ชม.
และ ส.ป.ส การแปรผัน เท่ากับ 0.08 จงหาจำนวนประมาณของหลอดไฟที่คาดว่าเทศบาลนครขีดหิน
จะต้องเปลี่ยนใหมระหว่าง 6 เดือน ถึง 8 เดือน หากถือว่าเดือนหนึ่งประกอบด้วย 30 วัน
และพื้นที่ใต้เส้นโค้งมาตรฐานระหว่าง 0 ถึง z เป็นดังนี้
z 1.62 1.70 1.83 1.90
พื้นที่ 0.4474 0.4554 0.4664 0.4713
นาย ก
ข้อ 10 คิดได้ 1113 ไม่รู้ถูกหรือเปล่า
พี่นวยช่วยด้วย
นาย ก
ข้อ 1. ทางซ้ายมือคือ | x-y | จะถอดได้สองแบบคือ
เป็น x-y หรือเป็น y-x ก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่า x และ y ใครมากกว่ากัน
..เส้นตรง x=y คือเส้นเฉียงขึ้น 45องศา ผ่านจุดกำเนิด
ดังนั้น ด้านบนของเส้นนี้ (ครอบคลุม Q2 และครึ่งนึงของ Q1, Q3) จะได้ x-y < 0
สมการโจทย์จึงเป็น y-x = |x|+|y|
ซึ่งด้านขวาจะถอดได้เหมือนด้านซ้าย ก็เมื่อ x ติดลบ และ y เป็นบวก
นั่นคือ Q2 ตลอดทั้งบริเวณนั่นเองครับ
ส่วนด้านล่างของเส้นนี้ก็คิดในทำนองเดียวกัน
พบว่าสมการโจทย์ x-y = |x|+|y| เป็นจริงใน Q4 ตลอดทั้งบริเวณ
ดูไปดูมาก็ต้องตอบข้อ 4. ครับ
-----------------------------------------
ข้อ 2. ข้อนี้ไม่ยากครับ ลองเขียน fof ออกมาก็รู้เอง
ข้อนี้ตอบข้อ 4. เช่นกันครับ
-----------------------------------------
ข้อ 3. ข้อนี้ตอบ 1. ครับ ถ้ายังจำวิธีหาปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนานได้ ว่ามันเกิดจาก det
และการสลับที่ในรูปแบบที่ตัวเลือกข้อ 1. บอกมานั้น
จะไม่ทำให้ det เปลี่ยนแปลงครับ (สมบัติของ det)
-----------------------------------------
ข้อ 4. งงครับ ขอติดไว้ก่อนครับ
-----------------------------------------
ข้อ 5. สมมติ z = a + bi
จะได้สมการคือ รู้ท(a
2+b
2) + a + bi = 1 - 3i
จับส่วนจินตภาพเท่ากัน จะได้ b = -3 ทันทีเลย
จากนั้นจับส่วนจริงเท่ากัน โดยแทนค่า b ลงไปด้วย
แล้วแก้โดยยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ a = -4
ดังนั้น คำตอบคือ a+b = -7 จะอยู่ในช่วงข้อ 1. ครับ
-----------------------------------------
ข้อ 6. จาก ซิกม่า(X-17) = ซิกม่าX - 17(9) = -54
จะได้ ซิกม่าX = -54 + 153 = 99
ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (มิว) = 99/9 = 11
จาก ซิกม่า(X-10)
2 = ซิกม่า((X-11)+1)
2 = 45
จะได้ ซิกม่า(X-11)
2 + 2ซิกม่า(X-11) + 1(9) = 45
แต่ว่า ซิกม่า(X-11) = 0 แน่นอน เพราะ 11 คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต (จากสมบัติ)
ดังนั้น ซิกม่า(X-11)
2 = 45 - 9 = 36
จึงได้ ความแปรปรวน = 36/9 = 4
ลำดับในข้อนี้ก็คือ 11, 15, 19, 23, ...,พจน์ที่14
Q3 อยู่ตำแหน่ง (3/4)(15) = 11.25
ตำแหน่งที่ 11 มีค่า 11+10(4)=51 แสดงว่าถัดไปคือ 55
และ Q3 ก็มีค่าเท่ากับ 52 นั่นเองครับ.. (ตอบข้อ 2.)
-----------------------------------------
ข้อ 7. สมมติจำนวนนั้นคือ a
จะได้ a = 6n+5 และ a = 7m+3 ด้วย (โดย n,m เป็นจำนวนนับ)
ดังนั้นจะได้ m = (6n+2)/7
ซึ่งพบว่า จำนวนนับ n ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้อง (คือทำให้ m เป็นจำนวนนับด้วย) คือ n=2
(และจะได้ m=2)
..จึงได้คำตอบ a = 17 ครับข้อนี้
-----------------------------------------
ข้อ 8. เริ่มจาก 377 = 233(1) + 144
233 = 144(1) + 89
144 = 89(1) + 55
... ทำไปเรื่อยๆ นะครับ จะไปถึงบรรทัด 8 = 5(1) + 3
5 = 3(1) +
2
3 = 2(1) +
1
และจบที่ 2 = 1(2) เศษ 0
ดังนั้นคำตอบคือ 1+2 (ที่ทำตัวหนาไว้) = 3 นั่นเอง..
-----------------------------------------
ข้อ 9. หาทิศทางของเวกเตอร์ w ได้โดยนำ u ครอสกับ v
จะได้ผลเป็น - i - j + k
นั่นแสดงว่าเวกเตอร์ w ตามเงื่อนไขในโจทย์ จะอยู่ในรูป c (- i - j + k)
โดย c เป็นจำนวนจริงใดๆ (ที่ไม่ใช่ 0 นะครับ) ซึ่งเป็นบวกหรือติดลบก็ได้
ดังนั้นคำตอบข้อนี้คือ 0 หรือ 180 องศา ครับผม (ต้องตอบทั้งสองคำตอบ)
-----------------------------------------
ข้อ 10. ค่าเฉลี่ย 2500 ช.ม. และ SD 0.08*2500 = 200 ช.ม.
ให้คำนวณที่ช่วง 6 ถึง 8 เดือน
คิดเป็นชั่วโมงได้ 2160 ถึง 2880 ช.ม. (ต้องคิดว่า 1 วันมี 12 ช.ม.)
แปลงเป็นค่ามาตรฐาน (z) ได้ -1.7 ถึง 1.9
พื้นที่แรเงาระหว่างช่วงนั้นคือ 0.4554 (ซ้าย) + 0.4713 (ขวา) = 0.9267
แสดงว่ามีหลอดไฟที่ใช้งานได้ระยะเวลาในช่วงนี้ อยู่ 0.9267*1200 = 1112 หลอด
..ตอบ 1112 นะครับ (ไม่ใช่ 1113)
-----------------------------------------
นวย
ขอบคุณครับ
(ช่วยคิดข้อ 4 ด้วย)
นาย ก
ข้อ 4. น่าจะใช้ "ทฤษฎีกราฟ" ในการคิด แต่ผมลองลากดูแล้วยังงงๆ ตรงเงื่อนไข
ที่บอกว่า ต้องลากกลับมาที่จุดเริ่มต้นด้วย.. ผมว่ามันเป็นไปไม่ได้นะครับ..
อธิบายตามทฤษฎีก็คือ ..รูปที่ให้มานี้ มีจุดยอดทั้งหมด 16 จุด
ซึ่งมีดีกรี 2 อยู่ 4 จุด, มีดีกรี 3 อยู่ 8 จุด, มีดีกรี 4 อยู่ 4 จุด
การลากเส้นให้กลับมาที่จุดเริ่มต้นในแต่ละรูป แสดงว่าทางเดินที่เราลากนั้นต้องมีทุกๆ จุดเป็นจุดยอดคู่ (กราฟออยเลอร์)
มันจะไปมีปัญหาตรง 8 จุด ที่มีดีกรี 3 นั่นแหละครับ
ไม่ว่าจะลากยังไงจะไปตายตรงมุมนั้นตลอด.. ไม่สามารถลากกลับไปยังจุดเริ่มต้นได้..
ก็เลยคิดว่า ข้อนี้ถ้าโจทย์ไม่ผิดก็ขอยอมแพ้ครับ 😁
นวย
โจทย์ข้อ 4 ไม่ผิดแน่นอนครับ
นาย ก
งั้นข้อนี้ทำไม่เป็นจริงๆ ครับ.. 🤕
(หรือช่วยลากเป็นตัวอย่างให้ดูซักแบบได้ไหมครับ ผมจะได้เข้าใจโจทย์)
ใครคิดข้อ 4. ออก ช่วยหน่อยครับ..
นวย
ไปดูแล้วครับ ลากทับเส้นเดิมเห็นๆ ครับ 🤨
นวย
ไปดูมาอีกทีแล้วครับ.. ไม่ลากทับเส้นเดิมแล้วก็จริง
แต่ไม่เห็นว่าจะ "ลากกลับมาที่จุดเริ่มต้น" เลย (ในการลากครั้งที่ 2 เป็นต้นไป)
ก็ยังขอสรุปในขณะนี้ว่า เป็นไปไม่ได้ (ถ้าโจทย์ไม่ผิด) อยู่เช่นเดิมครับ
คุณ "นาย ก" มีเฉลยที่ถูกต้องหรือยัง ช่วยเอามาบอกบ้างครับ.. มันคาใจอ่ะ 😄
นวย
ขออนุญาตตอบเสริมอีกซัก 1 ที ก็แล้วกันครับ
จะได้เข้าใจวิธีคิด โดยไม่ต้องมานั่งสงสัยว่าโจทย์ผิดหรือไม่ผิดกันแน่..
ถ้าสมมติว่าเปลี่ยนเงื่อนไขของโจทย์ไปเป็นแบบต่างๆ จะได้คำตอบดังนี้..
1. ถ้าต้องลากกลับมาที่เดิมทุกครั้ง = คำตอบคือ เป็นไปไม่ได้ เพราะมันมีจุดยอดคี่
2. ถ้าให้ลากกลับมาที่เดิมเฉพาะครั้งแรกก็พอ = คำตอบคือ ลากอย่างน้อย 5 ครั้ง
(หมายความว่า ยกดินสอขึ้น 4 ครั้ง นั่นคือตอบข้อ 2.)
ลากครั้งแรกให้กินจุดยอดคู่วนกลับมาที่เดิมก่อน ตรงไหนก็ได้
จากนั้นลากเชื่อมจุดยอดคี่ทั้ง 8 จุด โดยให้จุดนึงเป็นจุดเริ่ม อีกจุดเป็นจุดสิ้นสุด
จึงต้องลากอีก 4 ครั้ง
เช่น ครั้งแรก ลากกรอบสี่เหลี่ยมใหญ่ 1 กรอบ
ครั้งสอง สาม ลากเส้นแนวตั้งอีกสองเส้น
ครั้งสี่ ห้า ลากเส้นแนวนอนอีกสองเส้น
3. ถ้าไม่ต้องลากกลับมาที่เดิมเลยก็ได้ = คำตอบคือ ลากอย่างน้อย 4 ครั้ง
(หมายความว่า ยกดินสอขึ้น 3 ครั้ง นั่นคือตอบข้อ 1.)
ก็คิดจากการลากเชื่อมจุดยอดคี่ทั้ง 8 จุด โดยให้จุดนึงเป็นจุดเริ่ม อีกจุดเป็นจุดสิ้นสุด
(เหมือนเดิมแหละครับ) จึงต้องลากทั้งหมด 4 ครั้ง
เช่น ครั้งแรกลากจากจุดที่ 2 (มองเป็นจุดยอด 16 จุด)
ลงสุด ซ้าย ขึ้นสุด ขวาสุด ลงสุด ซ้าย ขึ้นสุด
ครั้งสอง สาม ลากเส้นแนวนอนยาว
ครั้งสี่ ลากเส้นแนวนอนสั้น ที่อยู่ล่างสุดที่ยังไม่ได้ลาก
ตามนี้ครับ 😄
นวย
ยังไม่มีคำตอบที่ถูกเลยครับ ต้องถามอาจารย์คณะวิทย์ ม.ขอนแก่น
แต่คำตอบน่าจะอยู่ใน 3 case ที่พี่นวยกล่าวถึงแน่นอน
เป็นการวิเคราะห์ที่ลึกซึ้งมากครับ
นาย ก
>> เป็นการวิเคราะห์ที่ลึกซึ้งมากครับ
แล้วก็ครอบจักรวาลดีด้วยครับ ตอบยังไงก็ถูกแน่ๆ.. 5555 😁
นวย