โจทย์ตรรกศาสตร์ตอบ: 13, อ่าน: 30399, แท็ก: ถามโจทย์, เอ็นท์, ตรรกศาสตร์

จากเหตุ 3. นะครับ ถอดความได้ว่า
"ค่า x ทุกๆ ค่า สอดคล้องกับ Q หรือ R (ทำให้ Q หรือ R เป็นจริงอย่างน้อย 1 ข้อความ)"
และจากเหตุ 4. "มี x บางตัวที่ทำให้ข้อความ R เป็นเท็จ"

..นำมาพิจารณาร่วมกันเราก็จะทราบได้ทันทีว่า
"x บางตัว (อย่างน้อยก็ที่กล่าวถึงในเหตุ 4. ล่ะ) ทำให้ข้อความ Q เป็นจริง"

ดังนั้นสรุปตอบ ตัวเลือก 2. โลดครับ.. 😄


ป.ล. เหตุข้อ 2. ที่ให้มาไม่ได้ใช้ครับ

เหตุข้อ 2. คือ "ค่า x ทุกๆ ค่า ทำให้ P เป็นเท็จหรือ Q เป็นจริง" (P -> Q สมมูลกับ notP v Q)
แต่ถึงแม้ตอนนี้เรารู้ว่า "มี x บางตัวทำให้ข้อความ Q เป็นจริง" แล้วก็ตาม
ก็ยังเกิดสถานการณ์ได้ 2 อย่างคือ x แค่บางตัวจริงๆ ก็ได้, x ทุกตัวเลยก็ได้
จึงทำให้เราสรุปเจาะจงเกี่ยวกับ P ไม่ได้อยู่ดีครับ..

ก็เหตุ 4. คือ for some x [not R(x)]
แปลตรงๆ ตัวเลยครับว่า "มี x บางตัวที่ทำให้ข้อความ R เป็นเท็จ"

ถ้าอยากมองนิเสธของมัน.. ก็คือ for all x [R(x)] ใช่แล้วครับ
อ่านได้ว่า "ค่า x ทุกๆ ตัว ทำให้ข้อความ R เป็นจริง"

ขออนุญาตอธิบายครับ ว่า for all เป็นนิเสธกับ for some ถูกแล้วครับ
อย่างเช่นประโยค "แมวทุกตัวชอบกินปลา" มีค่าความจริงตรงข้ามกับประโยคไหนครับ
..ระหว่าง (1) "แมวบางตัวไม่ชอบกินปลา" กับ (2) "แมวทุกตัวไม่ชอบกินปลา"

ลองคิดดูถ้า "แมวทุกตัวชอบกินปลา" เป็นเท็จ
ก็แสดงว่า ต้องมีแมวอย่างน้อย 1 ตัว ที่ดันไม่ชอบกินปลา ไงครับ
เพียงแค่เท่านี้ประโยคก็เป็นเท็จได้แล้ว.. (ดังนั้นคำตอบคือประโยคแรกนั่นเอง)
ไม่จำเป็นต้องถึงขนาดแมวทุกๆ ตัวเลย ที่ไม่ชอบกินปลา เสมอไปหรอกนะคร้าบ..

จากที่สังเกตดู อาจสับสนตรงการ "เป็นจริง", "เป็นเท็จ" ของประโยคที่มี all, some
..ฉะนั้นเรามาดูตัวอย่างกันดีกว่าครับ

ประโยค for all x [ x เป็นจำนวนเต็ม ]
ถอดความเป็นภาษาไทยได้ว่า "สำหรับ x ทุกตัว.. x เป็นจำนวนเต็ม"

ความเป็นจริงหรือเท็จของมัน อยู่ที่คำว่า "ทุกตัว" ครับ
นั่นคือ ประโยคนี้จะเป็นจริงเมื่อ x ทุกๆ ตัว (ในเอกภพสัมพัทธ์) เป็นจำนวนเต็ม
อันนี้เข้าใจง่ายแน่นอนอยู่แล้ว (เช่น U = {1, 2, 3, 4})

และประโยคนี้จะเป็นเท็จเมื่อ x "ไม่ครบทุกตัว" ที่เป็นจำนวนเต็ม
เช่น U = {1, 2, 3.1416}
แบบนี้ประโยคเป็นเท็จแล้วครับ เพราะ x สอดคล้องไม่ครบทุกตัว

เห็นมั้ยครับว่า ความเป็นจริงหรือเท็จของมัน อยู่ที่คำว่า "ทุกตัว"
คือถ้าครบก็แปลว่าจริง แต่ถ้าไม่ครบก็แปลว่าเท็จเลยทันที แม้จะมีตัวขัดแย้งแค่เพียง 1 ตัว
..หรือสรุปง่ายๆ ว่า ข้อความที่ตรงข้ามกับ for all x [ x เป็นจำนวนเต็ม ]
ก็คือ for some x [ x ไม่เป็นจำนวนเต็ม ] ครับ

สมมติผมเปลี่ยนประโยคตั้งต้นเป็น for some x [ x ไม่เป็นจำนวนเต็ม ]
ถอดความได้ว่า "มี x บางตัว.. ซึ่ง x ไม่เป็นจำนวนเต็ม"

มันก็จะจริงเมื่อมี x บางตัวที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม
(หรือถ้าไม่เป็นเลยซักตัวก็ยิ่งจริงเข้าไปใหญ่.. แต่ไม่จำเป็นต้องถึงขนาดนั้นก็ได้ครับ)
และประโยคนี้จะเป็นเท็จเมื่อไหร่ดีครับ?
ก็ต้องเมื่อ ไม่มี x บางตัวเลย (ซักตัวเลย) ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม
(not for some x [ x ไม่เป็นจำนวนเต็ม]  ..สังเกตนะครับว่าการใส่ not ข้างหน้า จะไปกระทำที่คำว่า some)

แต่ถ้าเราแปลประโยค ไม่มี x บางตัวเลย (ซักตัวเลย) ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม
มันก็แปลว่า x ทุกตัวล้วนเป็นจำนวนเต็ม นั่นเองแหละครับ
สรุป.. not for some x [ x ไม่เป็นจำนวนเต็ม]  สมมูลกับ for all x [ x เป็นจำนวนเต็ม ]


ความจริงตัวอย่างข้างบนนี้ก็แค่มองกลับไปกลับมาเท่านั้นเอง
นิเสธของ all x [ P(x) ] คือ some x [ not P(x) ]
นิเสธของ some x [ not P(x) ] คือ all x [ P(x) ]

------------------------------------------------------------------------------------

เอาใหม่ครับ ตัวอย่างที่สอง
ประโยค for some x [ x มากกว่า 4 ]
ถอดความเป็นภาษาไทยได้ว่า "มี x บางตัว.. ซึ่ง x มากกว่า 4"

อย่าลืมนะครับว่า ความเป็นจริงหรือเท็จของมัน อยู่ที่คำว่า "บางตัว" ครับ
นั่นคือ ประโยคนี้จะเป็นจริงเมื่อ x บางตัว (ในเอกภพสัมพัทธ์) มีค่ามากกว่า 4
และประโยคนี้จะเป็นเท็จเมื่อ "ไม่ยักกะมี x บางตัว" ที่มากกว่า 4
แปลง่ายๆ ก็คือ x ทุกตัว ดั๊น..ไม่มากกว่า 4 นั่นเอง

อธิบายได้ว่า ความเป็นจริงหรือเท็จของมัน อยู่ที่คำว่า "บางตัว" ครับ
คือถ้ามีแม้แต่หนึ่งตัวก็แปลว่าจริงเลย แต่ถ้าไม่ยักมี ก็ต้องถือว่าประโยคเป็นเท็จ
..หรือสรุปง่ายๆ ว่า ข้อความที่ตรงข้ามกับ for some x [ x มากกว่า 4 ]
ก็คือ for all x [ x ไม่มากกว่า 4 ] ครับ

สรุปว่า นิเสธของ some x [ P(x) ] คือ all x [ not P(x) ]
และดังนั้นนิเสธของ all x [ not P(x) ] ก็คือ some x [ P(x) ]  ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้..

ดูเหมือนที่อธิบายยาวๆ เมื่อกี๊ จะไม่ค่อยตรงประเด็นแฮะ..
ถ้าเกิดทำให้ยิ่งงงขึ้นก็ต้องขออภัยนะครับ ..ขออธิบายแก้ตัวอีกซักที :P

ก่อนอื่นต้องขอบอกว่า ในเรื่องนี้ไม่ควรคำนวณด้วยสัญลักษณ์
แต่ควรแปลสัญลักษณ์ที่ให้มาในโจทย์ ออกมาเป็นคำพูดก่อน แล้วจึง "ยำ" หาผลสรุปในใจครับ..
(อย่างที่เฉลยจากหนังสือนี่ ถ้าน้อง ม.ปลาย อ่านรู้เรื่องก็เก่งแล้วล่ะ ยังไงเดี๋ยวจะลองแกะดูนะครับ)

-------------------------------------------------------------------

กลับมาดูประโยคที่โจทย์ให้มากันดีกว่าครับ.. (เหตุ 4.) "for some x [ not R(x) ]" เป็นจริง
(การจะหาผลซึ่งสมเหตุสมผลนั้น เราต้องพิจารณาขณะที่เหตุทุกข้อเป็นจริงครับ)

ถอดความได้ว่า มี x บางตัว ที่สอดคล้องกับข้อความ "not R(x)"
นั่นก็คือ x บางตัวทำให้ข้อความ "not R" เป็นจริง
(พอดีบรรทัดนี้ผมลืมพูดไปครับ มองข้ามช็อตไป 1 บรรทัด เลยอาจทำให้งง)

ประโยค มี x บางตัวทำให้ข้อความ "not R" เป็นจริง
ก็ย่อมแปลว่า x บางตัว (ที่พูดถึงนั้นนั่นแหละ) ย่อมทำให้ข้อความ R เป็นเท็จ

(เช่น มี x บางตัวทำให้ข้อความ "x ไม่น้อยกว่า 1" เป็นจริง
ก็ย่อมแปลว่า ค่า x นั้น ทำให้ข้อความ "x น้อยกว่า 1" เป็นเท็จ)

อธิบายแบบนี้พอจะชัดเจนขึ้นหรือยังครับ
ใน reply ที่ 2 คุณ "นาย ก" ถามข้อ (1) ว่าทำไมไม่เป็น "ทุกตัว"
คำตอบคือ เพราะ not มันอยู่ที่ R ครับ ไม่ได้อยู่ที่ some

ส่วนที่ถามข้อ (2) ว่า not for some x [not r(x)] =  for all x [r(x)] หรือไม่
ก็ขอตอบว่าใช่ครับ ตามที่ได้อธิบายไปแล้วยาวๆ เมื่อกี๊นี้ครับ
อย่างที่เข้าใจนั้นถูกแล้วครับ แต่ต้องไม่สับสนว่า not อยู่ตรงไหน ในหรือนอกครับ..

-------------------------------------------------------------------

ต่อไปจะพยายามแกะเฉลยที่เอามาจากหนังสือนะครับ..

>> เหตุ 4  for some x  [not R(x)] = T
>> so   for some x [R(x)] = F

น่าจะพิมพ์ผิดครับ บรรทัดที่สองนี้ต้องเป็น   so.. for all x [R(x)] = F ...............(๑)

อธิบายได้ว่า เนื่องจากบรรทัดแรกเป็นจริง
(เพราะโจทย์ให้มาเป็นเหตุ ซึ่งเหตุทั้งหมดต้องจริงเสมอ อย่างที่ได้กล่าวไปแล้ว)
ดังนั้นบรรทัดที่สองซึ่งเป็นนิเสธของบรรทัดแรก จึงมีค่าเป็นเท็จ
(และเราสรุปแบบนี้ได้แบบเดียวเท่านั้นนะครับ)

>> เหตุ 3   for all x [Q(x) v R(x)] = T
>> so  for  some x [Q(x) v F] = T

เหตุ 3 คือสิ่งที่โจทย์ให้มา แสดงว่ามีค่าเป็นจริงเช่นกัน
..นำมาพิจารณาร่วมกับบรรทัดที่ (๑) ผู้เฉลยจึงเห็นว่าแทนค่า F ลงไปได้ทันที
ตรงจุดนี้ผมก็จะขอแย้งว่า ทำแบบนี้ไม่ได้ครับ ประหลาดมากๆ..
(แถม all ยังกลายเป็น some อีก แต่ในวงเล็บไม่เปลี่ยนแปลง.. งงชีวิตเลยนะนี่)

ความจริงแล้วนั้น ผู้เฉลยไม่ได้มั่วหรอกครับ
แต่เขาคิดในใจเป็นภาษามนุษย์ แล้วไม่ยอมเขียนอธิบาย แต่ดันเขียนย่อเป็นสัญลักษณ์
..ผมว่าเขาน่าจะมีกระบวนการคิดแบบนี้ครับ คือ

- จากเหตุ 4. มี x บางตัวที่ทำให้ข้อความ not R เป็นจริง
  ก็แสดงว่า x บางตัวนั้นทำให้ R เป็นเท็จ ..............(๒)
- บรรทัดที่ (๑) ไม่ได้ใช้หรอก เอาทิ้งไปเถอะ
- จากเหตุ 3. ค่า x ทุกตัว ทำให้ข้อความ "Q v R" เป็นจริง .....................(๓)

- แต่เอ๊ะ! ค่า x บางตัวนั้นทำให้ R เป็นเท็จ นี่ฝ่า (จากบรรทัดที่ (๒) ไง)
  (ซึ่งอาจมี x บางตัวที่เหลือ ทำให้ R เป็นจริงด้วย หรืออาจไม่มีก็ได้ แต่ตูไม่สนใจ x กลุ่มนั้น)
  แบบนี้ก็ชัดเลยว่า x บางตัวนั้น ทำให้เกิดอาการ "Q v F" เป็นจริง ได้ (จากบรรทัด (๓) ไง) **
- สรุปเลยว่า x บางตัวนั้น ทำให้ Q เป็นจริง ชัวร์ๆ ไม่งั้น "Q v F" มันจะเป็นจริงไปได้ยังไง

>> so  for some x [Q(x)] = T

แล้วผู้เฉลยก็เลยสรุปแบบมุบมิบๆ ไม่อธิบายอะไร แล้วกาตัวเลือกข้อ 2. ทันที

-------------------------------------------------------------------

..น่าจะพอเห็นแล้วนะครับว่าในเรื่องนี้ไม่ควรคำนวณด้วยสัญลักษณ์ (เพราะมันทำแทบไม่ได้)
ขอแนะนำให้แปลสัญลักษณ์ที่ให้มาในโจทย์ ออกมาเป็นคำพูดก่อน แล้วจึงคิดหาผลสรุปครับ..

** ป.ล. ตรงที่ดอกจันไว้ สงสัยมั้ยครับว่า บรรทัดที่ (๓) เป็น "ทุกตัว" อยู่ดีๆ
แล้วทำไมมาบรรทัดนั้นถึงกลายเป็น "บางตัว" ไปซะได้..

ถ้าสงสัยเดี๋ยวจะมาอธิบายใหม่ครับ :]

ตอบข้อสงสัยที่ 1.

ถ้าลองใช้เป็นคำว่า "ทุกตัว" แบบนี้ มันจะผิดครับ

(จากเหตุ 3.) ค่า x ทุกตัว ทำให้ข้อความ "Q v R" เป็นจริง
(จากเหตุ 1.) ค่า x บางตัว ทำให้ข้อความ R เป็นเท็จ
(จึงสรุปว่า) ค่า x ทุกตัว ทำให้เกิดอาการ "Q v F" เป็นจริง ได้

ผิดเพราะ x ทุกตัวไม่ได้ทำให้ R เป็นเท็จซักหน่อย แค่ x บางตัวต่างหาก

ดังนั้นที่ผมได้แสดงกระบวนการคิดไว้จึงเป็นแบบนี้ครับ

(จากเหตุ 3.) ค่า x ทุกตัว ทำให้ข้อความ "Q v R" เป็นจริง
(จากเหตุ 1.) ค่า x บางตัว ทำให้ข้อความ R เป็นเท็จ
(จึงสรุปว่า) ค่า x บางตัวนั้น ทำให้เกิดอาการ "Q v F" เป็นจริง ได้


ตอบข้อสงสัยที่ 2. หนังสือพิมพ์ผิดครับ

ยินดีด้วยคร้าบ.. 😀

คือปัญหาอาจจะเพราะตัว delta กับ epsilon มันดูขลังเกินกว่าเหตุด้วยมั้ง.. 555
แบบว่าแค่เหลือบไปเห็น ก็ชวนให้ปวดหัวล่วงหน้าไปก่อนแล้ว 😁