กระทู้ที่ 0250
ความจริง ง่าย และ สวยงาม เสมอ
ตั้งกระทู้ใหม่

เพชรยอดมงกุฎ 50 ครับ (ม.ปลาย)ตอบ: 4, อ่าน: 5412, แท็ก: ถามโจทย์, อนุกรม

อยากให้พี่นวย หรือ ผู้รู้ ช่วยแสดงแนวคิด ของแต่ละข้อ ครับ

$A=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{99\cdot100}$
$B=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+100}$
${1\over A}+{1\over B} = ?$

IceSw2. 6/15 05/05/51 11:36 
http://img.thzhost.com/show.php?id=96d2eaa34aff3204e1ab55cee9700ef8
http://img.thzhost.com/show.php?id=9a13bc2db9aaab32ef173fa19760901c
http://img.thzhost.com/show.php?id=997b5d756e6b39ecd9cde59c0848d366

Note: ลิงก์นี้เป็นลิงก์เก่าตั้งแต่ปี 2008 ปัจจุบันย้ายไปที่ -pic1, pic2, pic3- ครับ
IceSw2. 6/15 05/05/51 11:49  [ 1 ] 
$B=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+100}$
$=\frac{2}{2(3)}+\frac{2}{3(4)}+\ldots+\frac{2}{100(101)}$
$=2[\frac{1}{2(3)}+\frac{1}{3(4)}+\ldots+\frac{1}{100(101)}]$
$=2[A+\frac{1}{100(101)}-\frac{1}{1(2)}]$
Shauฯ(6)  (แก้ 07/05/51 20:39)  07/05/51 20:37  [ 2 ] 
สำหรับ A เป็นอนุกรมในลักษณะ "1/เลขคณิตคูณเลขคณิต"
เราใช้เทคนิค "แยกเป็นเศษส่วนย่อยที่ลบกันอยู่" ครับ
จะสามารถหักล้างกันหมดไปเกือบทั้งแถวได้..

$A = \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{99\cdot100}$
  $= ({1\over 1}-{1\over 2})+({1\over 2}-{1\over 3})+({1\over 3}-{1\over 4})+...+({1\over 99}-{1\over 100})$
  $= {1\over 1}-{1\over 100} = {99\over 100}$

ส่วนอนุกรม B นั้นยากกว่านิดนึง
ตรงที่เราต้องรู้สูตรผลบวก คือ 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 ก่อนครับ
แล้วจะสามารถคำนวณในลักษณะเดียวกับอนุกรม A ได้ ..ดังนี้

$B = \frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+100}$
  $= \frac{2}{2\cdot3}+\frac{2}{3\cdot4}+\frac{2}{4\cdot5}+\ldots+\frac{2}{100\cdot101}$
  $= ({2\over 2}-{2\over 3})+({2\over 3}-{2\over 4})+({2\over 4}-{2\over 5})+...+({2\over 100}-{2\over 101})$
  $= {2\over 2}-{2\over 101} = {99\over 101}$

$\therefore {1\over A}+{1\over B} = {100\over 99}+{101\over 99} = {201\over 99}$

ป.ล. วิธีของน้องชอฯ ก็เหมือนพี่นวย แต่ว่าไม่ยอมคิดค่า A ก่อนอ่ะ..
นวย 08/05/51 12:36  [ 3 ] 
ง่ะ... จะคิด A ก่อนได้ไงอะพี่ ดันจำได้ว่าต้องตอบ n/(n+1)
แต่จำไม่ได้ว่าต้องทำยังไงนี่ดิ - -'

Shauฯ(6)  (แก้ 08/05/51 22:22)  08/05/51 19:10  [ 4 ] 
วิธีพิมพ์สมการดูได้ที่กระทู้ 0072 ครับ      
แปะรูป/ไฟล์
ถ้าไม่มีรหัสส่วนตัว กรุณาใส่เลขหน้า "ความน่าจะเป็น" ใน Math E-Book .. หรือตั้งรหัสได้ ที่นี่

ทดลองพิมพ์สมการ