ถามโจทย์เรื่องการนับอ่าครับพี่นวยตอบ: 11, อ่าน: 25931, แท็ก: ถามโจทย์, ฟังก์ชัน, ความน่าจะเป็น

ข้อแรก

2^5 เป็นจำนวนฟังก์ชันทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้ครับ เพราะมาจาก..

สมาชิกของ A ตัวแรก (คือ 1) เลือกคู่ได้ 2 วิธี (คือ a หรือ b)
สมาชิกของ A ตัวถัดมา (คือ 2) เลือกคู่ได้ 2 วิธี (คือ a หรือ b)
สมาชิกของ A ตัวถัดมา (คือ 3) เลือกคู่ได้ 2 วิธี (คือ a หรือ b)
สมาชิกของ A ตัวถัดมา (คือ 4) เลือกคู่ได้ 2 วิธี (คือ a หรือ b)
สมาชิกของ A ตัวสุดท้าย (คือ 5) ก็เลือกคู่ได้ 2 วิธี (คือ a หรือ b) เช่นกัน

เมื่อต้องทำการเลือกให้ครบทั้ง 5 ขั้นตอน ก็จะต้องเอาหนทางที่เป็นไปได้มาคูณกัน
นั่นแสดงว่า 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2^5 = 32 วิธี นั้น
เป็นวิธีสร้างเซตในลักษณะ { (1, ?), (2, ?), (3, ?), (4, ?), (5, ?) }
โดยที่ ? เป็นไปได้ทั้ง a และ b
หรือกล่าวว่า เป็นจำนวนฟังก์ชันทุกแบบเท่าที่จะสร้างได้ นั่นเองครับ

ถ้านึกดูดีๆ ในบรรดา 32 แบบ ที่ว่ามานี้ มีบางแบบที่ "ไม่ทั่วถึง B"
ลองหาดูครับว่ามีกี่แบบ แล้วเอาไปลบออกจาก 32 จึงจะเป็นคำตอบที่ถูก
(คิดดูก่อนนะครับ.. แล้วถ้าคิดไม่ออก หรือไม่ถูก จะเฉลยให้ตรงๆ ครับ)


ข้อหลัง

คำตอบ 3 x 2 x 2 x 2 x 2 ถูกต้องแล้วครับ :]

ถูกต้องเลยครับ

แบบที่ไม่ทั่วถึง มีอยู่ 2 แบบ คือ { (1, a), (2, a), (3, a), (4, a), (5, a) }
กับ { (1, b), (2, b), (3, b), (4, b), (5, b) }
ดังนั้นคำตอบคือ 2^5 - 2 = 30 แบบ

ถ้ามีสมาชิก a, b โผล่มาแค่อย่างน้อยตัวละ 1 ครั้ง ก็ถือว่า "ทั่วถึง" แล้วครับ
อย่างที่น้องเต้ยยกตัวอย่างมา ก็เข้าข่ายทั่วถึงครับ.. :]


ขอถามเพิ่มเล่นๆ ดีกว่า..
ถ้าเปลี่ยนโจทย์เป็น B = {a, b, c} คำตอบจะกลายเป็นเท่าไหร่ครับ

ตั้งด้วย 3^5 แม่นแล้ว แต่ลบทิ้งไป 12 ... มัน มัน มัน.. น้อยไปครับ!

ใบ้ให้เพิ่มดีกว่าครับ ..จำนวนแบบที่ต้องลบทิ้ง เพราะไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึง ก็ได้แก่..
1. แบบที่สมาชิกตัวหลังมีเพียงตัวเดียว ล้วนๆ (อันนี้เหมือนโจทย์เดิม)
== 3 แบบ ชัวร์ๆ

2. อย่าลืม.. แบบที่สมาชิกตัวหลังใช้เพียง 2 ตัว (เช่น มี a, b โดยไม่มี c) นะครับ
เพราะลักษณะนี้ก็ถือว่าไม่ทั่วถึงเช่นกัน
== เกิน 9 แบบชัวร์ เพราะแค่กรณีที่เรนจ์เป็น a, b ก็สามารถจับได้หลายแบบมากๆ แล้ว

ป.ล. ผมคิดได้คำตอบเท่ากับคุณน้อง(รึเปล่า)นู้นครับ

เฉลยนะครับ..

กำหนดให้ A = {1,2,3,4,5} และ B = {a,b,c}
- ฟังก์ชันจาก A ไป B จะมีทั้งหมด 3^5 = 243 แบบ

- ในบรรดา 243 แบนี้ มีแบบที่ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึงอยู่ 2 ลักษณะ คือ

  1. แบบที่สมาชิกตัวหลังมีเพียงตัวเดียวล้วนๆ .. มีอยู่ 3 แบบ
      ได้แก่ { (1,a), (2,a), (3,a), (4,a), (5,a) } และ b ล้วน และ c ล้วน

  2. แบบที่สมาชิกตัวหลังใช้เพียง 2 ตัว

      ..สมมติว่ามีเรนจ์เป็น a, b โดยไม่มี c ก่อนละกันครับ
      จะสร้างเป็นฟังก์ชันได้ 2^5 = 32 แบบ
      แต่! ในจำนวนนี้มีแบบที่เป็น a ล้วน กับ b ล้วน ซึ่งจะไปซ้ำกับข้อแรก ไม่ต้องนับแล้ว
      จำนวนแบบจึงเป็น 30 แบบ เท่านั้น

      กรณีที่เรนจ์เป็น a, c โดยไม่มี b .. หรือเป็น b, c โดยไม่มี a .. ก็ย่อมมี 30 แบบเช่นกัน
      สรุปแล้ว ฟังก์ชันในลักษณะข้อ 2. นี้ จะมีอยู่ 90 แบบ นั่นเองครับ

- ก็เลยสรุปว่า ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B มีทั้งหมด 243 - 3 - 90 = 150 แบบ

เป็นอย่างงี้นี่เอง!