กระทู้ที่ 0285
หนังสือ 2.2.0.4 ตรงนี้ผิดหรื…
ตั้งกระทู้ใหม่

ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยค่ะตอบ: 21, อ่าน: 24918

มีปัญหาสองข้อมาถามค่ะ พยายามคิดแล้วแต่ทำไม่ได้จริงๆค่ะ

1. จงหาค่า f(x) จากสมการ f''(x)+2f'(x)-3f(x) = 0 โดยที่ f(0)=0, f'(0)=4

2. $\int{x^nlogx dx} $

ขอบคุณมากค่ะ
ตาล 18/02/52 20:25 
ข้อ1. เนื้อหาอยู่ใน Calculus2 เรื่องสมการเชิงอนุพันธ์ (Diff. Equa.) ครับ
(เป็นหัวข้อ สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง ดีกรีหนึ่ง ที่มี a, b, c เป็นค่าคงที่ และ d = 0)

สมการช่วยคือ m2 + 2m - 3 = 0
แยกตัวประกอบได้เป็น (m + 3)(m - 1) = 0 .. ดังนั้น m = -3 หรือ 1

แสดงว่าผลเฉลยทั่วไปคือ f(x) = k1e-3x + k2ex
โดยค่า k ทั้งสองตัวคือค่าคงที่ใดๆ ครับ
แต่โจทย์กำหนด f(0) = 0 และ f'(0) = 4 แสดงว่าต้องการให้หาค่า k ทั้งสองด้วย
..ตรงนี้ไม่ยากครับ ลองไปทดต่อดูนะครับ


ข้อ 2. เนื้อหาอยู่ใน Calculus1 เรื่องเทคนิคการอินทิเกรต แบบทีละส่วน (By Part) ครับ
เข้าใจว่า log x ในที่นี้หมายถึง ln x ใช่ไหมครับ (จึงขอเขียนเป็น ln เพื่อไม่ให้สับสน)

ให้ $I = \int{x^n ln x dx} $
โดยที่ $u = x^n ln x$ และ $dv = dx$
(ดังนั้น $du = (n+1) x^{n-1} ln x dx$ และ $v = x$)

จาก $\int{u dv} \,=\, uv - \int{v du}$
จะได้ $I \,=\, x^{n+1} ln x - \int{(n+1) x^n ln x dx} \,=\, x^{n+1} ln x - (n+1) I + C_1$
ย้ายข้างมารวมกันทางซ้าย ได้เป็น $(n+2) I\, =\, x^{n+1} ln x + C_1$
ถึงขั้นนี้ก็จะได้คำตอบแล้วครับ.. $I \,=\, \frac{x^{n+1} ln x}{n+2} + C$
นวย 19/02/52 12:18  [ 1 ] 
ขอบคุณมากค่ะสำหรับคำตอบทั้งสองข้อ

สำหรับข้อ1.นี่ยังไม่เคยเรียนเลยอ่ะค่ะ ไม่ทราบว่าพี่พอจะมีเนื้อหาที่สามารถอ่านผ่านเน็ตได้มั้ยคะ ช่วยแนะนำลิงค์ด้วยค่ะ

ส่วนข้อ2.นี่ มันเป็น log x จริงๆค่ะ ไม่ใช่ ln x
ถ้าเป็น ln x นี่พอจะทำได้ค่ะ แต่นี่พอเป็น log x แล้วงงไปเลย
ยังไม่เคยเรียนวิธีอินทิเกรต log เลยอ่ะค่ะ ขอรบกวนช่วยสอนหรือแนะนำลิงค์ที่มีข้อมูลให้หน่อยค่ะ

รบกวนมากไปป่าวเนี่ย ฮ่าๆ

ขอบคุณมากค่ะ
ตาล 19/02/52 19:50  [ 2 ] 
ข้อ 1. ... แนะนำ ลิงก์นี้ มีสรุปโน้ตย่อไว้อย่างดี ครบถ้วน

แล้วจากนั้นดูตัวอย่างการคิดได้จาก ลิงก์นี้ ครับ
Note: ลิงก์นี้เป็นลิงก์เก่าตั้งแต่ปี 2009 ปัจจุบันเปิดไม่ได้แล้วครับ
(ถ้าไม่เหนื่อยใจกับการอ่านภาษาอังกฤษนะครับ) 😀


ข้อ 2. ... เอ ถ้าอินทิเกรต ln x เป็น ก็ไม่น่ามีปัญหาสำหรับ log x นะครับ

จากที่ทราบแล้วว่าดิฟ ln x ได้ (1/x)
ก็เพียงเปลี่ยนมาใช้เป็น.. ดิฟ log x เท่ากับ (1/x) * ln10 ครับ
(ln10 เป็นค่าคงที่ ไม่มีผลต่อการอินทิเกรต, คำตอบจึงเปลี่ยนไปเฉพาะสัมประสิทธิ์เท่านั้น)

ป.ล. แปลกดีเหมือนกันนะครับ ที่เราต้องอินทิเกรต log x และ ln x โดยการดิฟ!
นวย 20/02/52 01:24  [ 3 ] 
เออ จริงๆด้วย หนูก่งก๊งเองค่ะ
มัวแต่ไปอินทิเกรตแหลกทุกตัวเลย ฮ่าๆๆๆ

ขอบคุณมากค่ะสำหรับลิงค์และคำแนะนำ
ตาล 20/02/52 08:53  [ 4 ] 
คร้าบ ยินดีตอบครับ :]
นวย 20/02/52 11:27  [ 5 ] 
พี่นวยครับ ผมว่าข้อ 2. แปลกๆ นะครับ
จาก $u = x^n \ln x$
ดังนั้น $du = \left( {x^n \left( {{1 \over x}} \right) + \ln x\left( {nx^{n - 1} } \right)} \right)dx$ นะครับ

จริงๆ ข้อนี้ผมว่าน่าจะได้แบบนี้นะครับ
$\int {x^n \ln xdx = {{x^{n + 1} } \over {n + 1}}} \left( {\ln x - {1 \over {n + 1}}} \right) + c$

แล้วก็ตรงที่ดิฟ log x หน่ะครับ ผมว่ามันต้องเอา ln 10 มาหารมากกว่านะครับ คือ...
${d \over {dx}}\left( {\log x} \right) = {d \over {dx}}\left( {{{\ln x} \over {\ln 10}}} \right) = {1 \over {\ln 10}}\left( {{{d\ln x} \over {dx}}} \right) = {1 \over {x\ln 10}}$

ผมคิดว่าน่าจะเป็นอย่างนี้นะครับพี่นวย เอ๊ะ หรือยังไง ผมก็งงๆ ครับ
นู้น(30)  (แก้ 20/02/52 12:27)  20/02/52 12:15  [ 6 ] 
โอ๊ะ.. จริงด้วยครับ ตามที่คุณน้องนู้นแก้ไขมานี่ถูกทุกอย่างเลยครับ
ขออภัยคุณตาลด้วยครับ ไม่รู้จะได้กลับมาเจอการแก้ไขนี้หรือเปล่า - -"

ขอยืนยันว่า ดิฟ log x ต้องได้ (1/x) / ln10 จริงๆ ครับ อันนี้ผมพลาดเต็มประตูครับ

ส่วนอินทิเกรต by part ..ดันพิมพ์ du ผิดไปหน่อยครับ ดึงตัวร่วมผิด (ด้วยความมึน)
ก็เลยทำให้ผิดยาวจนจบข้อเลย ที่ถูกจะต้องเป็น $du = (n ln x + 1) (x^{n-1}) dx$
(คือ ln x ต้องอยู่ในวงเล็บ)

และเมื่อทดต่อจนเสร็จ จะได้คำตอบเท่าที่น้องนู้นบอกมาครับ
นั่นคือ.. $I \,=\, x^{n+1} ln x - \int{(n ln x + 1) x^n dx} \,=\, x^{n+1} ln x - n I - \frac{x^{n+1}}{n+1} + C_1$
ย้ายข้างมารวมกันทางซ้าย ได้เป็น $(n+1) I\, =\, x^{n+1} ln x - \frac{x^{n+1}}{n+1} + C_1$
สรุปว่า $I \,=\, x^{n+1} (\frac{ln x}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2}) + C$

ป.ล. ฮาตัวเองจริงๆ เพราะตอนที่อินทิเกรตเสร็จ ผมก็ลองดิฟดูแล้วนะ
ปรากฏว่าดันได้ $x^n ln x$ กลับคืนมาซะงั้น เพราะดึงตัวร่วมผิดเหมือนเดิม
กลายเป็นว่าการตรวจคำตอบไม่ได้ช่วยอะไรเลย.. 555 :P

ขออนุญาตมอบอีกหนึ่งดาวนะครับ (มอบแล้วยังไม่รู้จะเอาไปใช้อะไรต่อเลย.. หงิ่ว!)
นวย 20/02/52 22:14  [ 7 ] 
ตอนแรกก็งงๆอยู่เหมือนกันค่ะ พอจะกลับเข้ามาถามใหม่ก็เห็นคำตอบแล้ว
ขอบคุณพี่ทั้งสองคนมากค่ะ

^^
ตาล 21/02/52 14:31  [ 8 ] 
ขอแอบทำให้ไขว้เขวนิดนึงค่ะ

เรื่อง log กับ ln เนี่ย text บางเล่มเค้าจะใช้ log ในความหมายของ ln เป็น default เลยนะคะ
เพื่อความชัวร์ ตอนอ่านอาจจะต้องเช็คนิดนึงค่ะว่า log ของเค้าคือ log ฐาน 10 หรือ ฐาน e  🙂
Shauฯ(6)  23/02/52 12:40  [ 9 ] 
ยินดีที่คุณตาลมาพบคำตอบที่ถูกต้องจริงๆ ครับ
ขอบคุณคุณน้องนู้นที่ช่วยตรวจสอบและแก้ไขด้วยครับ

และก็ขอบคุณน้องชอฯ ที่ทำให้พี่นวยรู้ว่าไม่ได้เข้าใจไปทางนั้นคนเดียวเด้อ :]
(ตอนนี้ยังรู้สึกอยู่เลยว่าคนตั้งโจทย์ไม่น่าตั้งเป็น log)
นวย 23/02/52 21:34  [ 10 ] 
เราจะมีวิธีคิดอย่างไรถ้าโจทย์ลักษณะเดียวกับข้อแรกมันไม่เท่ากับศูนย์คะ

เช่น $f''(x)+2f'(x)-3f(x) = x^2$ อะไรประมาณนี้

ขอบคุณมากค่ะที่กรุณาเสียสละเวลาอีกครั้งนึง พอดีเรียนหนังสือด้วยตัวเองอยู่อ่ะค่ะ ไม่รู้จะถามใคร
ตาล 08/03/52 14:49  [ 11 ] 
ถ้าไม่เป็น 0 ผมทำไม่เป็นแล้วครับ เพราะไม่ได้เรียนภาคคณิตศาสตร์มาโดยตรง
แต่ก็คิดว่าคงมีหลักการตายตัวเหมือนกันครับ ลองหาในเน็ตดูก็ได้
หรือไม่แน่อาจมีผู้รู้ผ่านมาช่วยตอบให้ก็ได้ครับ..
นวย 08/03/52 19:20  [ 12 ] 
ไม่เป็นไรค่ะ
เซ็งเจงๆ ไม่รู้จะคิดทฤษฎีมาให้เรียนเยอะแยะทำไม
เครียดๆๆๆ

ขอบคุณมากค่ะ
ตาล 08/03/52 21:05  [ 13 ] 
ในกรณีที่ตัวหลังไม่เท่ากับ 0
สมการนี้ก็จะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์แบบเชิงเส้นอันดับสองแบบไม่เป็นเอกพันธ์ครับ
วิธีคิด ก็จะมีวิธีปกติ  คือ เราจะต้องคิด 2 ขั้นครับ

ขั้นแรก หา $Y_c$
ก็จะคิดเหมือนกรณีที่ด้านหลังเป็น 0 ครับ
จาก
$D^2  + 2D - 3y = x^2$ ---(*)
จะได้
$  r^2  + 2r - 3 = 0$
$  (r + 3)(r - 1) = 0$
$   r = 1, - 3$
ดังนั้น
$Y_c  = c_1 e^x  + c_2 e^{ - 3x} $

ขั้นสอง หา $Y_p$
เราจะต้องกำหนด f(x) ด้านหลัง ให้กลายเป็นสมการติดตัวแปร
แล้วก็ดิฟ แทนค่า เอาไปเทียบสัมประสิทธิ์ครับ
กำหนด
$Y_p  = ax^2  + bx + c$
จะได้
$ Y_p ^\prime   = 2ax + b $
$ Y_p ^{\prime \prime }  = 2a$
นำไปแทนค่าใน (*) จะได้
$(2a) + 2(2ax + b) - 3(ax^2  + bx + c) = x^2 $
แล้วเทียบสัมประสิทธ์
พจน์ $x^2$ ได้ $ - 3a = 1$
พจน์ $x^1$ ได้ $ 4a - 3b = 0$
พจน์ $x^0$ ได้ $ 2a + 2b - 3c = 0$
จะได้ $a =  - {1 \over 3},\,\,\,b =  - {4 \over 9},\,\,\,c =  - {{14} \over {27}}$
ดังนั้น $Y_p  =  - {1 \over 3}x^2  - {4 \over 9}x - {{14} \over {27}}$

สรุปคำตอบ $Y = Y_c  + Y_p$
คือ $Y  =   c_1 e^x  + c_2 e^{ - 3x} - {1 \over 3}x^2  - {4 \over 9}x - {{14} \over {27}}$
นู้น(30)  (แก้ 09/03/52 10:54)  09/03/52 10:51  [ 14 ] 
สำหรับการกำหนด $Y_p$ นั้น มีหลักการดังนี้ครับ
ถ้ามี $ke^{nx}$ จะต้องกำหนด $ce^{nx}$
ถ้ามี $kx^{n}$ จะต้องกำหนด $c_n x^n  + c_{n - 1} x^{n - 1}  + ... + c_1 x + c_0 $
ถ้ามี $ke^{nx}\cos \theta x$ หรือมี $ke^{nx}\sin \theta x$
จะต้องกำหนด $e^{nx}(a \cos \theta x + b \sin \theta x) $

ในกรณีที่กำหนด $Y_p$ บางตัวไปซ้ำกับ $Y_c$
จะต้องคูณ x เข้าไปในพจน์นั้นๆ จนกว่าจะไม่เหมือนกับ $Y_c$ เช่น
ถ้าได้ $Y_c  = c_1 e^{2x}  + c_2 e^x$
โดยที่ด้านหลังเท่ากับ $ 2e^x  + 3x$
เมื่อกำหนด $Y_p  = ae^x  + bx + c$
พบว่ามีพจน์ $e^x$ ซ้ำใน  $Y_c$
ดังนั้น จึงต้องกำหนด  $Y_p$  เป็น
$Y_p  = axe^x  + bx + c$  (คูณ x เข้าไปในพจน์นั้น จนกว่าจะไม่ซ้ำ)
นู้น(30)  (แก้ 09/03/52 11:15)  09/03/52 11:12  [ 15 ] 
นอกจากนี้ยังมีวิธีลัดอีกนะครับ (วิธีลัดจะไม่เทียบสัมประสิทธิ์ แต่จะใช้การแทน u ครับ)

สำหรับขั้นแรก หา $Y_c$ จะเหมือนกันครับ

แต่สำหรับขั้นสอง จะใช้วิธีการดังนี้ครับ
จาก $(D + 3)(D - 1)Y_p  = x^2 $
จะได้ $Y_p  = {{x^2 } \over {(D + 3)(D - 1)}}$
กำหนดให้ $u = {{x^2 } \over {D + 3}}$ ---(1)
จะได้ $Y_p  = {u \over {D - 1}}$ ---(2)

จาก (1)
จะได้ ${{du} \over {dx}} + 3u = x^2 $
หา $I = e^{\int {3dx} }  = e^{3x} $ เอาไปคูณตลอด
$e^{3x} {{du} \over {dx}} + 3ue^{3x}  = x^2 e^{3x} $
จัดรูปได้ $due^{3x}  = x^2 e^{3x} dx$ แล้วอินทิเกรตทั้งสองข้าง
$e^{3x} u = {{x^2 } \over 3}e^{3x}  - {{2x} \over 9}e^{3x}  + {2 \over {27}}e^{3x} $
ดังนั้น $u = {{x^2 } \over 3} - {{2x} \over 9} + {2 \over {27}}$

เอา u ไปแทนค่าใน (2)
จะได้ ${{dY_p } \over {dx}} - Y_p  =  {{x^2 } \over 3} - {{2x} \over 9} + {2 \over {27}}$
หา $ I = e^{\int { - 1dx} }  = e^{ - x} $
$e^{ - x}{{dY_p } \over {dx}} - e^{ - x}Y_p  =  e^{ - x}({{x^2 } \over 3} - {{2x} \over 9} + {2 \over {27}})$
$e^{ - 1} Y_p  = e^{ - 1} ( - {{x^2 } \over 3} + {{2x} \over 9} - {2 \over {27}} - {{2x} \over 3} + {2 \over 9} - {2 \over 3})$
จะได้ $Y_p  =  - {1 \over 3}x^2  - {4 \over 9}x - {{14} \over {27}}$ เหมือนกัน

สำหรับวิธีลัดนี้จะไม่ต้องเทียบสัมประสิทธ์ แต่ใช้การทำทีละตัว
ซึ่ง จะเจอการอินทิเกรตทีละส่วนแทน (ดังนั้น ขึ้นอยู่กับโจทย์ว่าแบบใหนจะง่ายกว่า หรือ ถนัดกว่า)
นู้น(30)  (แก้ 09/03/52 12:20)  09/03/52 12:15  [ 16 ] 
ท่านผู้รู้มาช่วยตอบแล้ว เย่ๆๆ ขอบคุณมากๆ เลยครับ
(วันหลังผมจะขยันให้เท่าคุณนู้นครับ แหะๆๆๆ)

พอดีผมป่วยหลายวันเพิ่งหายดีครับ
กลับมาแล้วก็ขอมอบดาว 1 ดวงใหญ่ๆ ย้อนหลังให้คุณนู้นนะคร้าบ 😀
นวย 18/03/52 00:25  [ 17 ] 
ขอบคุณครับสำหรับดาวดวงใหญ่ดวงนี้ครับ

แต่ไม่รู้ว่าคุณตาลจะอ่านไม่เข้าใจตรงไหนหรือเปล่า ผมว่าเหมือนผมอธิบายข้ามๆ ยังไงไม่รู้

มีจุดไหนสงสัย ถามได้นะครับ
นู้น(30)  20/03/52 18:27  [ 18 ] 
ผมอ่านแล้วก็เข้าใจดีนะครับ แต่ตรงวิธีลัดจะงงๆ หน่อย
นวย 20/03/52 19:43  [ 19 ] 
จะลองอธิบายเพิ่มดูนะครับ

- การเลือกให้ตัวไหนเป็น u นั้น เลือกตัวไหนก็ได้ครับ หลักคือ ทำทีละตัว ผลจะเหมือนกันครับ

- ขั้น หา I นี่มาจากวิธีการคิดสมการเชิงอนุพันธ์แบบเชิงเส้นอันดับหนึ่งแบบไม่เป็นเอกพันธ์
คือ เราจะเอาชุดตัวเลขหน้า u เอาไปเข้าสูตร $I = e^{\int {f(x)dx} } $
แล้วนำไปคูณตลอด จะทำให้ยุบเทอมได้เสมอครับ

- ขั้นอินทิเกรตฝั่งขวา $\int {x^2 e^{3x} dx} $ ตัวนี้อินทิเกรตทีละส่วนครับ
โดยให้ $u = x^2 $ และ $dv = e^{3x} dx$
จะต้องทำทั้งหมด 3 ครั้ง หรืออาจใช้ตารางช่วย ดังนี้ครับ


$u$$dv$
+$x^2$$e^{3x}$
-$2x$${{e^{3x} } \over 3}$
+$2$${{e^{3x} } \over 9}$
0${{e^{3x} } \over 27}$


จะได้คำตอบโดยการคูณทแยงลง ดังนี้ครับ
$\int {x^2 e^{3x} dx} = x^2 \left( {{{e^{3x} } \over 3}} \right) - 2x\left( {{{e^{3x} } \over 9}} \right) + 2\left( {{{e^{3x} } \over {27}}} \right)$

ดีขึ้นไหมครับพี่นวย 😁
นู้น(30)  (แก้ 20/03/52 20:14)  20/03/52 20:11  [ 20 ] 
ขอบคุณพี่นู้นมากนะคะที่สละเวลามาช่วยอธิบาย
ตอนนี้ไปหาหนังสือมาอ่านเพิ่มเติม เริ่มจะเข้าใจแล้วค่ะ

ขอบคุณมากค่ะพี่ๆทุกท่าน
ตาล 04/04/52 19:44  [ 21 ] 
วิธีพิมพ์สมการดูได้ที่กระทู้ 0072 ครับ      
อัปโหลดรูป/ไฟล์
ถ้าไม่มีรหัสส่วนตัว กรุณาใส่เลขหน้า "ความน่าจะเป็น" ใน Math E-Book .. หรือตั้งรหัสได้ ที่นี่

ทดลองพิมพ์สมการ