กระทู้ที่ 0289
โจทย์ลูกเต๋า
ตั้งกระทู้ใหม่

เกี่ยวกับ Matrixตอบ: 11, อ่าน: 5560, แท็ก: matrix

ตอนนี้กำลังลองทำโจทย์เกี่ยวกับพวกเมตริกอยู่อ่ะค่ะ
ที่โจทย์มันจะมีตัว E อยู่ในโจทย์ ตอนแรกก็งงว่ามันคืออะไร พอลองค้นไปค้นมาก็เจอว่ามันคือ Eigenvector (รึป่าวหว่า) ก็เลยลองอ่านไปเรื่อยๆ ก็เข้าใจตามที่เค้าเขียนอ่ะค่ะ
แต่...พอกลับมาลองทำโจทย์ดันทำไม่ออก

จะขอรบกวนพี่ๆอีกครั้ง ช่วยแนะนำลิงค์ที่มีเนื้อหาและโจทย์ประเภทนี้หน่อยค่ะ
หรือไม่ก็ช่วยแสดงวิธีคิดข้อข้างล่างนี้ให้ดูหน่อย งงกับมันมาทั้งวันแล้ว

(1) $A = \left[ \matrix{ 1 & 3 \\ 1 & 3} \right]$
1.1 เมื่อ $A^2 - (2a+b) E = \underline{0}$ จงหา a,b
1.2 $E+A+A^2+...+A^n$ มีค่าเท่าไหร่

(2) จงพิสูจน์ว่าเมตริก A ขนาด nxn, $A^t = A$ และ $A^2 = A$ มีค่า eigenvalue เท่ากับ 0 และ 1

(3) A เป็นเมตริกจัตุรัสขนาด nxn มี $A^k = E$ (k เป็นค่าคงที่)
จงพสูจน์ว่า A เป็น regular matrix

(4) $A = \left[ \matrix{ 5 & 3 \\ 8 & 6} \right]$
ถ้า $A^{-1} = \alpha A + \beta E$, จงหาค่า $\alpha$ กับ $\beta$

ขอบคุณมากค่ะ
ตาล 07/03/52 16:32 
พี่นวยไปอ่านทบทวนเนื้อหามาแล้ว ก็พบว่าตัวเองเรียนไม่ถึงขั้นนี้ครับ
ใน Calculus ที่เคยเรียน จะเป็นเมทริกซ์มิติ 2x2 ซึ่งมีลักษณะ $A^t = A$ เท่านั้นเอง
(อยู่ในหัวข้อ การลดรูปสมการภาคตัดกรวย ที่มีพจน์ xy อยู่ด้วย)

แต่เนื่องจากหลักการเบื้องต้นเหมือนกัน ก็จะลองทำดูนะครับ


หลักการของ eigenvector คือเมื่อนำเมทริกซ์ A มาคูณกับมันแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้ยังคงมีทิศทางเดิม
ดังนั้น eigenvector ก็คือ $\left[ \matrix{ x \\ y } \right]$ ..ซึ่งทำให้ $A \left[ \matrix{ x \\ y } \right] = \lambda \left[ \matrix{ x \\ y } \right]$ นั่นเอง
หรืออาจย้ายข้างสมการ มาเป็น $(A - \lambda I) \left[ \matrix{ x \\ y } \right] = \underline{0}$ ก็ได้ครับ

..สัญลักษณ์ $\lambda$ ในที่นี้เป็นจำนวนจริง เรียกว่าค่า eigenvalue ของเมทริกซ์ A
สมบัติที่ใช้ในการหาค่า $\lambda$ ก็คือ $\det (A - \lambda I) = 0$ ครับ
เมื่อทราบค่า $\lambda$ แล้ว ก็จะหา $\left[ \matrix{ x \\ y } \right]$ ต่อไปได้..

-------------------------------------------------------------------------

เช่นในข้อ 1.    $A - \lambda I = \left[ \matrix{ 1-\lambda & 3 \\ 1 & 3-\lambda} \right]$
ดังนั้น $\det (A - \lambda I) \, = (1-\lambda)(3-\lambda) - 3 \, = 0$
จะแก้สมการได้ $\lambda$ (eigenvalue) เท่ากับ 0 หรือ 4

ต่อไปจะหา eigenvector นะครับ.. จาก $(A - \lambda I) \left[ \matrix{ x \\ y } \right] = \underline{0}$

ถ้า $\lambda = 0$ ..จะได้ $\left[ \matrix{ 1 & 3 \\ 1 & 3 } \right] \left[ \matrix{ x \\ y } \right] = \left[ \matrix{ 0 \\ 0 } \right]$
นั่นคือ x + 3y = 0 (เราสามารถเลือกค่า x เองได้ครับ สเกลเปลี่ยนแต่ทิศทางไม่เปลี่ยน)
..เช่น ถ้าให้ x = 3 จะได้ y = -1 ..ดังนั้น eigenvector $= \left[ \matrix{ 3 \\ -1 } \right]$

ถ้า $\lambda = 4$ ..จะได้ $\left[ \matrix{ -3 & 3 \\ 1 & -1 } \right] \left[ \matrix{ x \\ y } \right] = \left[ \matrix{ 0 \\ 0 } \right]$
นั่นคือ x - y = 0
..เช่น ถ้าให้ x = 1 จะได้ y = 1 ..ดังนั้น eigenvector $= \left[ \matrix{ 1 \\ 1 } \right]$

(เพื่อให้เป็นระเบียบ เราอาจลดขนาดของ eigenvector ให้เป็น 1 หน่วยเสมอ ก็ได้ครับ)
นวย 08/03/52 19:11  [ 1 ] 
ส่วนคำถามแต่ละข้อนี่ชวนงงมากเลยครับ พี่นวยไม่แน่ใจว่าเมทริกซ์ E ในที่นี้คืออะไร
ถ้าหากเป็น eigenvector จริงๆ ก็ไม่น่าสอดคล้องสมการข้อ 1.1, 1.2, และข้อ 4 ได้ เพราะมิติต่างกัน

สมมติว่า E เป็นเมทริกซ์ที่ต่อเติม eigenvector สองอันเข้าด้วยกัน ข้อ 1.1 ก็ยังคิดไม่ได้อยู่ดีครับ
(ที่จริงข้อ 1.1 น่างงตั้งแต่ a, b แล้ว จะมีสองตัวแปรทำไม ในเมื่อเป็นสัมประสิทธิ์ของ E ด้วยกัน)
คุณตาลช่วยให้รายละเอียดของเมทริกซ์ E มากกว่านี้ได้ไหมครับ จะได้ช่วยคิดต่อได้

หรือถ้าใครช่วยอธิบาย หรือตอบโจทย์เหล่านี้แทนได้ ก็ช่วยผมด้วยนะครับ :]


ป.ล. คำถามข้อ 1.2 ถ้าเราลองหา A กำลังสอง, สาม, สี่ .. ไปเรื่อยๆ จะพบว่าคูณทีละ 4 ครับ
ดังนั้น $A + A^2 + A^3 + ... + A^n \, = \, A + 4A + 16A + ... + {4^{n-1}}A \,= \, \frac{{4^n}-1}{3} A$
ปัญหาติดตรง E เท่านั้นเองครับที่ผมไม่รู้จัก - -"

คำถามข้อ 2. พอจะทำเป็นครับ (แต่จะถูกหรือเปล่าไม่รู้เหมือนกัน แหะๆๆ)
จาก $A^2 = A$ ..จะได้ $A^2 - A = \underline{0}$
นั่นคือ $A (A-I) = \underline{0}$
ใส่ det ทั้งสองข้าง จะได้ว่า $\det(A) = 0$ หรือ $\det(A-I) = 0$
เมื่อนำไปเทียบกับเงื่อนไข $\det (A - \lambda I) = 0$ ก็จะทราบว่า $\lambda$ เท่ากับ 0 หรือ 1 ครับ..
นวย 08/03/52 19:11  [ 2 ] 
โห...นี่มัน linear algebra เลยอะ เพิ่งได้เรียนตอนปี 1 ป.โทเอง
แต่บางคณะเค้าก็เรียนกันตั้งแต่ป.ตรีแล้วนะ - ถ้ามันต้องใช้ :D

แหะๆ บอกไปแล้วก็อย่าเพิ่งตกใจค่ะ ถึงบางคนจะเพิ่งเรียนวิชานี้ตอนป.โท
แต่มันไม่ได้ยากเย็นอะไรขนาดนั้น แอบรู้สึกว่าเรื่องแบบนี้ สอนเมื่อไหร่ ก็ทำได้เมื่อนั้นแหละ
ที่เราทำไม่ได้ เพราะเรายังไม่เคยเรียนเท่านั้นเอง 😎

ตอนแรกเดาว่า E น่าจะเป็น matrix ของ eigenvector ทั้งหมดน่ะค่ะ
เค้าเรียกอะไรก็จำไม่ได้ละ (ตอนเราเรียนมันใช้ตัวอื่นที่ไม่ใช่ E อะ)
แต่พอลองคิดก็เห็นจริงตามที่พี่นวยว่าเลยค่ะ ข้อแรกจะมี a กะ b ทำไม
เดี๋ยวขอไปเปิดตำราก่อนนะคะ

ป.ล. ว่าแต่ เดี๋ยวนี้เด็กมัธยมเค้าเรียน eigenvector กันแล้วหรอคะ ไฮโซจัง
Shauฯ(6)  (แก้ 08/03/52 20:30)  08/03/52 19:52  [ 3 ] 
คือไม่รู้จะอธิบายเพิ่มเติมยังไงอ่ะค่ะ มันไม่รู้เรื่องจริงๆ ไม่เคยเรียนเหมือนกัน แล้วที่โจทย์อยู่ดีๆ E มันก็โผล่มา งงกันเลยทีเดียว
ยังไงก็ขอขอบคุณพี่นวยมากค่ะที่ไปค้นมาให้

T T
ตาล 08/03/52 20:56  [ 4 ] 
อ่อ ลืมบอกไป
โจทย์พวกนี้เป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยของต่างประเทศอ่ะค่ะ
ไม่รู้ทำไมมันเรียนกันเยอะขนาดนี้ เซ็งเจงๆ

^^
ตาล 08/03/52 21:01  [ 5 ] 
เคยสอนพิเศษระดับ hi-school จนจบ ก็ไม่เห็นจะยากขนาดนี้เลยอ่ะครับ
(รวมถึงบทอื่นที่คุณตาลเอามาถามด้วย) นี่เป็นข้อสอบเข้าระดับ ป.โท รึเปล่าเนี่ย..

น้องชอฯ ช่วยด้วย..
นวย 08/03/52 21:35  [ 6 ] 
วันนี้ไปค้นมาแล้ว ตัว E เค้าน่าจะหมายถึงเมตริกเอกลักษณ์อ่ะค่ะ
น่าจะใช้ทฤษฎีของ Cayley–Hamilton theorem

เดี๋ยวไปอ่านก่อน แล้วจะลองทำอีกที

^^
ตาล 09/03/52 13:22  [ 7 ] 
เดาว่า E อาจจะเป็น diagonal matrix ของ A นะครับ
ก่อนอื่น นำ eigenvector ของ A มาเขียนรวมกันเป็น
$P = \left[\matrix{3 & 1  \\ - 1 & 1}\right]$

แล้วหา E จาก $E = P^{ - 1} AP$
จะได้ $E = \left[\matrix{0 & 0  \\ 0 & 4}\right]$

ทั้งหมดนี่เดานะครับ อย่าเชื่อผมมากครับ

อ่านเพิ่มเติมทางนี้เลยครับ
Wikipedia : Diagonalizable matrix
SOS math : Eigenvalues and Eigenvectors: An Introduction
SOS math : Matrix Exponential
นู้น(30)  (แก้ 09/03/52 13:27)  09/03/52 13:25  [ 8 ] 
ปํญหาคือ ไม่ว่า E จะเป็น matrix ของ eigenvectors (นึกชื่อไม่ออกซะที)
หรือ diagonal หรือ identity มันก็แก้ข้อ 1.1 ไม่ออกซักอันเนี่ยสิคะ
เลยไม่รู้ว่า E ที่เราเข้าใจมันตัวเดียวกับโจทย์ข้ออื่นหรือเปล่า

ชักสงสัยว่า 1.1 โจทย์ผิดรึเปล่า -  คิดไม่ออกแต่โทษโจทย์เฉยเลย :P
Shauฯ(6)  09/03/52 18:42  [ 9 ] 
นั่นสิครับคุณชอฯ ไม่ว่าจะแทนด้วย matrix ของ eigenvectors
(เค้าเรียกว่า eigenspaces หรือเปล่าครับ อันนี้ก็เดาอีก )
หรือจะแทนด้วย Identity หรือ Diagonal ก็หาคำตอบไม่ได้ทั้งนั้นเลย

งั้นถ้าเราลองคิดแบบที่ไม่รู้ E คือ ให้ $E = \left[\matrix{{e_{11} } & {e_{12} }  \\ {e_{21} } & {e_{22} } }\right]$
จะได้  $\left[\matrix{4 & 12 \\ 4 & 12}\right] = (2a+b)\left[\matrix{{e_{11} } & {e_{12} }  \\ {e_{21} } & {e_{22} } }\right]$ --- (*)
ดังนั้น
$(2a + b)e_{11}  = 4$
$(2a + b)e_{21}  = 4$
ก็จะได้ $e_{11} = e_{21}$ ให้ตัวนี้เป็น x

$(2a + b)e_{12}  = 12$
$(2a + b)e_{22}  = 12$
ก็จะได้ $e_{12} = e_{22}$ ให้ตัวนี้เป็น y

จะได้ว่า
$(2a + b)x  = 4$
$(2a + b)y  = 12$
จะได้ $y = 3x$

เอาไปแทนใน (*)
$4\left[\matrix{1 & 3 \\ 1 & 3}\right] = (2a+b)x\left[\matrix{1 & 3  \\ 1 & 3 }\right]$
จะได้ $(2a+b)x = 4$

ยังไงๆ ก็หาคำตอบ a, b ไม่ได้อยู่ดีแหละครับ
เพราะมันเหลือ 1 สมการ 2 ตัวแปร

ปล. ทั้งหมดทั้งมวลนี้ผมฟุ้งซ่านไปคนเดียวนะครับ ก็มันคิดไม่ออกจริงๆ นี่หน่า
นู้น(30)  (แก้ 10/03/52 15:08)  10/03/52 14:57  [ 10 ] 
>> ปล. ทั้งหมดทั้งมวลนี้ผมฟุ้งซ่านไปคนเดียวนะครับ ก็มันคิดไม่ออกจริงๆ นี่หน่า

ไม่ว่ากันครับ เพราะแบบ คห.10 ผมก็ได้ฟุ้งซ่านมาแล้วเหมือนกัน.. 555 😁
นวย 18/03/52 00:19  [ 11 ] 
วิธีพิมพ์สมการดูได้ที่กระทู้ 0072 ครับ      
อัปโหลดรูป/ไฟล์
ถ้าไม่มีรหัสส่วนตัว กรุณาใส่เลขหน้า "ความน่าจะเป็น" ใน Math E-Book .. หรือตั้งรหัสได้ ที่นี่

ทดลองพิมพ์สมการ