กระทู้ที่ 0296
พี่นวย ใบ้หวย ONET ปีล่าสุดหน่…
ตั้งกระทู้ใหม่

ช่วยอธิบายหน่อยคับตอบ: 2, อ่าน: 1164

หาพจน์ทั่วไปของ 3, 6, 10, 16,...
pp 05/05/52 20:55 
โจทย์ลำดับแปลกๆ มาอีกแล้ว - -"

ลำดับนี้ไม่ใช่เลขคณิต เรขาคณิต พยายามนั่งคิดนอนคิดก็ไม่เห็นความสัมพันธ์ของมันสักที
จึงต้องใช้วิธีพหุนามครอบจักรวาลครับ

ขออนุญาตแนะนำให้น้อง pp ศึกษาวิธีคิดในกระทู้ 0272 และ 0053 ก่อนครับ
แล้วจึงค่อยมาดูวิธีของลำดับนี้ ในกรอบข้อความข้างล่าง..
นวย 07/05/52 15:02  [ 1 ] 
วิธีที่ 1
จากลำดับที่ให้มา เมื่อเราลองหาผลต่างไปเรื่อยๆ พบว่าครั้งที่ 3 เป็นค่าคงที่
(โมเมเอาเลยครับ เพราะมันจะเหลือเลขแค่ตัวเดียวแล้ว)
ดังนั้น ลำดับนี้อยู่ในรูปพหุนามดีกรีสาม.. $a_n = A n^3 + B n^2 + C n + D$

แทนค่าพจน์ต่างๆ ลงไป 4 แบบ เพื่อให้ได้ 4 สมการครับ (ทำเหมือนกระทู้ 0272)
พจน์ที่ 1 : $a_1 = A + B + C + D = 3$
พจน์ที่ 2 : $a_2 = 8A + 4B + 2C + D = 6$
พจน์ที่ 3 : $a_3 = 27A + 9B + 3C + D = 10$
พจน์ที่ 4 : $a_4 = 64A + 16B + 4C + D = 16$

จากนั้นแก้ระบบสมการ ได้ A, B, C, D เท่ากับ 1/6, -1/2, 10/3, 0 ตามลำดับ
ดังนั้นคำตอบคือ $a_n = \frac{n^3}{6} - \frac{n^2}{2} + \frac{10n}{3}$ ครับ

หมายเหตุ ควรใช้วิธีหาพจน์ที่ 0 ก่อน เพื่อให้ทราบค่า D เลยทันที
แล้วจะเหลือสมการที่ต้องแก้เพียง 3 สมการ ง่ายกว่าเยอะครับ (ดังตัวอย่างในกระทู้ 0272)


วิธีที่ 2
ใช้สูตรโกงทีเดียวจบ แบบกระทู้ 0053
จะได้ $a_n = 3\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)} + 6\frac{(n-1)(n-3)(n-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)}$
               $+ 10\frac{(n-1)(n-2)(n-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)} + 16\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)}$
นี่แหละครับ แจกแจงออกมาได้คำตอบเป็น $a_n = \frac{n^3}{6} - \frac{n^2}{2} + \frac{10n}{3}$ ทันทีเลย
(แม้วิธีคิดจะสั้นกว่า แต่ก็ยังเหนื่อยตรงแจกแจงพหุนามอยู่ดีครับ :P)
นวย 07/05/52 15:02  [ 2 ] 
วิธีพิมพ์สมการดูได้ที่กระทู้ 0072 ครับ      
อัปโหลดรูป/ไฟล์
ถ้าไม่มีรหัสส่วนตัว กรุณาใส่เลขหน้า "ความน่าจะเป็น" ใน Math E-Book .. หรือตั้งรหัสได้ ที่นี่

ทดลองพิมพ์สมการ