หาพจน์ทั่วไปของ 3, 6, 10, 16,...
pp
โจทย์ลำดับแปลกๆ มาอีกแล้ว - -"
ลำดับนี้ไม่ใช่เลขคณิต เรขาคณิต พยายามนั่งคิดนอนคิดก็ไม่เห็นความสัมพันธ์ของมันสักที
จึงต้องใช้วิธีพหุนามครอบจักรวาลครับ
ขออนุญาตแนะนำให้น้อง pp ศึกษาวิธีคิดในกระทู้
0272 และ
0053 ก่อนครับ
แล้วจึงค่อยมาดูวิธีของลำดับนี้ ในกรอบข้อความข้างล่าง..
นวย
วิธีที่ 1
จากลำดับที่ให้มา เมื่อเราลองหาผลต่างไปเรื่อยๆ พบว่าครั้งที่ 3 เป็นค่าคงที่
(โมเมเอาเลยครับ เพราะมันจะเหลือเลขแค่ตัวเดียวแล้ว)
ดังนั้น ลำดับนี้อยู่ในรูปพหุนามดีกรีสาม..
$a_n = A n^3 + B n^2 + C n + D$
แทนค่าพจน์ต่างๆ ลงไป 4 แบบ เพื่อให้ได้ 4 สมการครับ (ทำเหมือนกระทู้ 0272)
พจน์ที่ 1 :
$a_1 = A + B + C + D = 3$
พจน์ที่ 2 :
$a_2 = 8A + 4B + 2C + D = 6$
พจน์ที่ 3 :
$a_3 = 27A + 9B + 3C + D = 10$
พจน์ที่ 4 :
$a_4 = 64A + 16B + 4C + D = 16$
จากนั้นแก้ระบบสมการ ได้ A, B, C, D เท่ากับ 1/6, -1/2, 10/3, 0 ตามลำดับ
ดังนั้นคำตอบคือ
$a_n = \frac{n^3}{6} - \frac{n^2}{2} + \frac{10n}{3}$ ครับ
หมายเหตุ ควรใช้วิธีหาพจน์ที่ 0 ก่อน เพื่อให้ทราบค่า D เลยทันที
แล้วจะเหลือสมการที่ต้องแก้เพียง 3 สมการ ง่ายกว่าเยอะครับ (ดังตัวอย่างในกระทู้ 0272)
วิธีที่ 2
ใช้สูตรโกงทีเดียวจบ แบบกระทู้ 0053
จะได้
$a_n = 3\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)} + 6\frac{(n-1)(n-3)(n-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)}$
$+ 10\frac{(n-1)(n-2)(n-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)} + 16\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)}$
นี่แหละครับ แจกแจงออกมาได้คำตอบเป็น
$a_n = \frac{n^3}{6} - \frac{n^2}{2} + \frac{10n}{3}$ ทันทีเลย
(แม้วิธีคิดจะสั้นกว่า แต่ก็ยังเหนื่อยตรงแจกแจงพหุนามอยู่ดีครับ :P)
นวย