ขอตอบครับ..
$a_n = 2n+2^{n-1}$
ส่วนวิธีที่ผมคิดออกจะมั่วๆ นิดนึงนะครับ (ถ้าอยากได้หลักการไม่ควรอ่าน แหะๆๆ)
=====================================
เริ่มจากข้อสังเกตที่ว่า เมื่อหาผลต่าง 2 ชั้นแล้วเป็นเรขาคณิต
ผมก็คิดว่ามันต้องมีรูปทั่วไปเป็น pattern อะไรสักอย่างที่เจาะจงแน่ๆ
..อะไรที่ดิฟสองครั้งแล้วเป็นเรขาคณิต หรือเอกซ์โพเนนเชียล ??
ถ้าเรียน Cal ปี 1 แล้วจะรู้ว่าต้องมีส่วนประกอบของเรขาคณิตอยู่ด้วยแน่ๆ
(ดิฟเอกซ์โพเนนเชียล จะได้ผลเป็นเอกซ์โพเนนเชียลเช่นเดิม ฐานเดิม)
เพียงแต่อาจจะมีอะไรที่บวกลบคูณหารมันอยู่ ถึงต้องหาผลต่างตั้ง 2 ชั้น
ทีนี้ผมจึงลองสมมติ an ในรูปแบบต่างๆ แล้วลองหาผลต่าง 2 ชั้นดูครับ
เริ่มจาก
$a_n = 4 \cdot 2^{n-1} + 3$ = 7, 11, 19, 35, 67, 131, ...
(ตั้งให้ละเอียดๆ ใส่ค่าคงที่เยอะๆ ไปเลย จะได้เห็นว่าตรงไหนส่งผลบ้าง)
พบว่าลบกันชั้นแรกได้ 4, 8, 16, 32, 64 เป็นเรขาคณิตซะแล้ว
แสดงว่าการบวกกันเองของเอกซ์โพ (คูณ4) ยังไม่ใช่
และการบวกค่าคงที่ (+3) ไม่มีผลแน่นอน (เปลี่ยนเป็นเลขอื่น ผลต่างก็ยังเท่านี้)
แต่ฐานของเอกซ์โพฯ น่าจะเป็น 2 เหมือนกันนี่แหละ ถูกแล้ว
จากนั้นผมลองนำเอกซ์โพฯ มาคูณกันดูบ้าง (เลียนแบบพหุนามกำลังสอง)
โดยสมมติ
$a_n = ({2^n}-1)({2^n}+2)$ = 4, 18, 70, 270, ...
กับ
$a_n = {4^n}-3 \cdot {2^n} +2$ = 0, 6, 42, ...
คิดเลขแล้วเห็นว่าไม่น่าจะใช่ เพราะตัวเลขแต่ละพจน์มันพุ่งสูงขึ้นเร็วมาก
(ป.ล. ตอนพิมพ์เพิ่งนึกได้ว่ารูปแบบพวกนี้ ดิฟสองครั้งแล้วไม่ใช่เรขาคณิตนี่หน่า)
เลยเปลี่ยนมาใช้พหุนามไปคูณกับเอกซ์โพฯ แทนครับ
สมมติว่า
$a_n = n \cdot {2^n}$ = 2, 8, 24, 64, 160, ... คิดเลขดูก็ยังไม่ได้
งั้นเปลี่ยนเป็นบวกกันมั่งดีกว่า..
$a_n = n + 2^n$ = 3, 6, 11, 20, 37, 70, ...
ปรากฏว่าคราวนี้หาผลต่างสองชั้นแล้วเป็นเรขาคณิตพอดีเลย!
แสดงว่าใช่ละ รูปแบบคล้ายๆ อย่างงี้แหละ แต่ต้องขยับพจน์ให้ลงตัวหน่อย
ผลต่างชั้นที่สองได้ 2, 4, 8, 16, ... เป็นเรขาคณิต ค่า r=2 อันนี้แม่นแล้ว
แต่ในโจทย์ ผลต่างชั้นที่สองมันเริ่มจาก 1, 2, 4, 8, ...
ผมก็เลยเปลี่ยนมาเป็น
$n + 2^{n-1}$ ก็พบว่าได้ชั้นที่สองตามต้องการพอดี
แต่ผลต่างชั้นแรกยังเป็น 2, 3, 5, 9, 17, ... ซึ่งเราต้องการ 3, 4, 6, 10, 18, ...
ถ้าไปบวก 1 ทุกพจน์ มันก็ไม่ได้ช่วยอะไร เพราะคิดผลต่างก็ยังเท่าเดิม
วิธีทำให้ผลต่างมันถ่างออกไปเรื่อยๆ ก็คือเอา n ไปบวกเพิ่มครับ
ตอนนี้จึงได้
$2n + 2^{n-1}$ และผลต่างชั้นแรกกับชั้นสองเหมือนที่ต้องการแล้ว
ปรากฏว่าค่าแต่ละพจน์ที่ได้เหมือนในโจทย์พอดีด้วย ก็เลยดีใจแล้วรีบตอบครับ :P
(แต่ถ้ายังไม่พอดี เราก็แค่หาค่าคงที่ไปบวกหรือลบให้ร่นค่าไป แล้วก็เป็นคำตอบ)
นวย