Math E-Book
Release 2.7pre2 + Conc!
Release 2.7pre2 + Conc!
กระทู้ที่ 0303 จาก 0508
| กระทู้ที่ 0302 พบเครื่องหมายหายไป Rel.2.9 หน้า 139 | ตั้งกระทู้ใหม่ | กระทู้ที่ 0304 แจ้งจุดผิด |
ขอวิธีคิดคับตอบ: 6, อ่าน: 1465
$$\sum_{n=1} ^{\infty} \left( \frac{1}{3^n-1} \right) = ?$$
pp 02/06/52 21:56
รู้แต่ว่า โดยหลักการ (ซึ่งจะถูกเสมอเพราะมันคือนิยาม !)
ให้หา partial sum $\left[\sum_{n=1}^k \left(\frac{1}{3^n-1}\right) \right]$ ให้ได้ก่อน สมมติเป็น S(k)
จากนั้น take limit ของ partial sum $\left[\lim_{k\to\infty}{S(k)}\right]$ก็จะไ้ด้คำตอบ
แต่ว่า...หา partial sum ยังไงหว่า :P
ให้หา partial sum $\left[\sum_{n=1}^k \left(\frac{1}{3^n-1}\right) \right]$ ให้ได้ก่อน สมมติเป็น S(k)
จากนั้น take limit ของ partial sum $\left[\lim_{k\to\infty}{S(k)}\right]$ก็จะไ้ด้คำตอบ
แต่ว่า...หา partial sum ยังไงหว่า :P
Shauฯ(6) 03/06/52 13:12 [ 1 ]
ผมต้องพิมพ์ { eq } กับ { /eq } ก่อนและหลัง ถึงจะออกมาเป็นเครื่องหมายใช่รึเปล่าครับ เพราะว่าตอนโพสครั้งแรกมันไม่ขึ้นเป็นเครื่องหมาย
pp 03/06/52 20:20 [ 2 ]
ข้อความนี้อาจมี html tag ที่ไม่อนุญาตให้แสดง
ข้อความนี้อาจมี html tag ที่ไม่อนุญาตให้แสดง
ใช่ค่ะ กดปุ่ม eq หรือ eqi ทางซ้าย ก็ได้ค่ะ
Shauฯ(6) 03/06/52 20:51 [ 3 ]
ขอตอบตามตรงว่าทำไม่เป็นครับ 
ถ้าท่านใดรู้วิธี หรือคุณ pp รู้เฉลยแล้ว ช่วยมาบอกกันด้วยนะครับ
ถ้าท่านใดรู้วิธี หรือคุณ pp รู้เฉลยแล้ว ช่วยมาบอกกันด้วยนะครับ
นวย 06/06/52 13:33 [ 4 ]
ต่อไปนี้เป็นช่วงแถให้ได้คำตอบ เช่นเคยสำหรับกระทู้ที่ไม่รู้จะตอบยังไงดีครับ :P
จากอนุกรมที่ให้มา แจกแจงได้เป็น
1/2 + 1/8 + 1/26 + 1/80 + 1/242 + ...
= 0.5 + 0.125 + 0.038461 + 0.0125 + 0.004132 + ...
= 0.680093 + ...
โดยใน "จุดจุดจุด" คือผลบวกตั้งแต่พจน์ที่ 6 ถึงอินฟินิตี้ ของ 1/(3n-1)
ซึ่งเราทราบว่า 1/(3n-1) มีค่าใกล้เคียง 1/3n มากๆ
(เช่น พจน์ที่ 6 คือ 1/728 = 0.0013736 กับ 1/729 = 0.0013717)
และยิ่งใกล้เคียงกันขึ้นเรื่อยๆ เมื่อ n มีค่ามากขึ้น
ดังนั้นเราจะประมาณผลรวมในจุดจุดจุด ด้วยอนุกรมเรขาคณิต 1/3n ซะเลย!
จะได้ว่า ผลรวมในจุดจุดจุด มีค่าประมาณ (1/729)/(1 - 1/3) = 1/486 = 0.002058
จึงสรุปค่าของอนุกรมคือ 0.680093 + 0.002058 = 0.682151 โดยประมาณครับ
หมายเหตุ ลองใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยคิด ได้คำตอบออกมา 0.6821535026 ครับ
แสดงว่าประมาณได้ใกล้เคียงมากเลย ฮี่ๆๆ 😁
จากอนุกรมที่ให้มา แจกแจงได้เป็น
1/2 + 1/8 + 1/26 + 1/80 + 1/242 + ...
= 0.5 + 0.125 + 0.038461 + 0.0125 + 0.004132 + ...
= 0.680093 + ...
โดยใน "จุดจุดจุด" คือผลบวกตั้งแต่พจน์ที่ 6 ถึงอินฟินิตี้ ของ 1/(3n-1)
ซึ่งเราทราบว่า 1/(3n-1) มีค่าใกล้เคียง 1/3n มากๆ
(เช่น พจน์ที่ 6 คือ 1/728 = 0.0013736 กับ 1/729 = 0.0013717)
และยิ่งใกล้เคียงกันขึ้นเรื่อยๆ เมื่อ n มีค่ามากขึ้น
ดังนั้นเราจะประมาณผลรวมในจุดจุดจุด ด้วยอนุกรมเรขาคณิต 1/3n ซะเลย!
จะได้ว่า ผลรวมในจุดจุดจุด มีค่าประมาณ (1/729)/(1 - 1/3) = 1/486 = 0.002058
จึงสรุปค่าของอนุกรมคือ 0.680093 + 0.002058 = 0.682151 โดยประมาณครับ
หมายเหตุ ลองใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยคิด ได้คำตอบออกมา 0.6821535026 ครับ
แสดงว่าประมาณได้ใกล้เคียงมากเลย ฮี่ๆๆ 😁
นวย 10/06/52 22:11 [ 5 ]
ขอบคุณครับ
pp 10/06/52 22:28 [ 6 ]