อันนี้ลองไปแบบมั่วๆ นะครับ ของจริงต้องรอพี่นวยมาฟันธง (หรือฟันทิ้ง) ก่อนนะครับ
ถ้าผมจัดรูปให้เป็น
$x\left( {1 + x^2 + x^8 + x^{26} + x^{80} + x^{242} } \right)$
แล้วกำหนดให้
$ A = x^2 $
จะมองว่า หาร
$x\left( {1 + A + A^4 + A^{13} + A^{40} + A^{121} } \right)$ ด้วย
$A - 1$ เหลือเศษเท่าไหร่
แล้วใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ ตอบ
$6x$ ได้ไหมครับ
นู้น
ขอฟันธงครับ วิธีของคุณน้องนู้นแจ่มมากครับ :P
และขอแสดงวิธีคิดแถมไปอีกแบบละกันนะครับ
..เราต้องการหาร
$x+x^3+x^9+x^{27}+x^{81}+x^{243}$ ด้วย
$x^2-1$
เขียนให้อยู่ในรูปสมการของการหาร ได้ดังนี้..
$x+x^3+x^9+x^{27}+x^{81}+x^{243} = (x^2-1) Q(x) + R(x)$
โดยที่ Q(x) คือผลหาร มีดีกรี 241
และ R(x) คือเศษ มีดีกรีไม่เกิน 1 ..สมมติเศษอยู่ในรูป ax+b ละกันนะครับ
จะได้สมการกลายเป็น
$x+x^3+x^9+x^{27}+x^{81}+x^{243} = (x^2-1) Q(x) + (ax+b)$
สมการนี้เป็นจริงเสมอ ทุกจำนวนจริง x
จึงลองแทนค่า x = 1 ลงไป ได้เป็น
$6 = 0 + (a+b)$ .....(๑)
ลองแทนค่า x = -1 ลงไป ได้เป็น
$-6 = 0 + (-a+b)$ .....(๒)
แก้ระบบสมการได้ a=6 และ b=0
ดังนั้น เศษ R(x) = 6x คร้าบ.. 😀
ป.ล. ถ้าสังเกตดีๆ วิธีนี้ก็คือที่มาของทฤษฎีบทเศษเหลือนั่นเอง
นวย