เรื่องจำนวนจริงครับตอบ: 5, อ่าน: 8286

ถ้าตอบสั้นๆ ก็คือ "เพราะความเป็นบวกหรือติดลบ ของตัวประกอบแต่ละวงเล็บที่คูณกันอยู่ครับ"

ขออธิบายด้วยตัวอย่างนะครับ สมมติเรามีอสมการ (x-a)(x-b)(x-c) > 0
โดยที่เรียงลำดับแล้วว่า a < b < c  (ลองเขียนเส้นจำนวน a, b, c ตามไปด้วยนะครับ)

จะเห็นว่า เมื่อค่า x มากกว่า c (ไม่ว่าจะใกล้ไกลเท่าไรก็ตาม)
จะทำให้ทั้งสามวงเล็บมีค่าเป็นบวกทั้งหมด คูณกันจึงได้ผลลัพธ์เป็นบวก
ซึ่งอสมการนี้ต้องการผลคูณ ()()() > 0 ก็คือคูณกันแล้วเป็นบวกนั่นเอง
แสดงว่าค่า x ใดๆ ในช่วงนี้ (มากกว่า c) ใช้เป็นคำตอบของอสมการได้หมดเลยครับ

ต่อมา ถ้าเกิด x มีค่าอยู่ระหว่าง b กับ c บ้าง (ไม่ว่าจะเป็นเท่าไรก็ตามในช่วงนั้น)
จะทำให้ (x-a) กับ (x-b) เป็นบวก แต่ว่า (x-c) ติดลบแล้วครับ คูณกันจึงได้ผลลัพธ์เป็นลบ
แสดงว่าค่า x ใดๆ ในช่วงนี้ ไม่ใช่คำตอบของอสมการ

ต่อมา ถ้า x มีค่าอยู่ระหว่าง a กับ b ..จะเกิด (+)(-)(-) คูณกันจึงได้ผลลัพธ์เป็นบวก ใช้ได้
และสุดท้าย ถ้า x มีค่าน้อยกว่า a ไปเลย ..จะเกิด (-)(-)(-) คูณกันได้ผลลัพธ์เป็นลบ ใช้ไม่ได้

ถ้าเรากำหนดจุด a, b, c ลงไปบนเส้นจำนวน จะเห็นได้ชัดเจนครับว่าเมื่อ x มีค่าอยู่ในช่วงต่างๆ
ผลคูณที่ได้จะเป็น + ที่ช่วงขวาสุดก่อนเสมอ (เพราะทุกวงเล็บจะมีค่าเป็นบวก)
แล้วช่วงถัดมาก็เป็น -, +, - สลับกันไปเสมอ (เพราะจะมีค่าติดลบเกิดขึ้น ทีละวงเล็บๆ)

สรุปแล้วจากข้อสังเกตนี้ เส้นจำนวน + - + จึงช่วยแก้อสมการพหุนามได้เสมอครับ
(และก็ไม่จำเป็นต้องมีตัวประกอบ 3 วงเล็บด้วยนะครับ กี่วงเล็บก็เกิดลักษณะเดียวกัน)

ป.ล. ลองเอาไปคิดต่อดูนะครับว่า เมื่อมีตัวประกอบซ้ำกันหลายตัว เช่น (x-a)²(x-b)³ > 0
หรือเมื่อมีการหาร เช่น (x-a)(x-b)/(x-c) > 0 ..จะยังคิดด้วยวิธีเดิมได้ไหม :P

ใช่แล้วคร้าบ น้องน้านบรรลุแล้วครับ.. อิๆๆ :P

อยากขอขยายความนิดนึงครับ สำหรับกรณีตัวประกอบหลายวงเล็บซ้ำกัน (หรือยกกำลัง)
เนื่องจากเราทราบว่า (+)(+) ได้บวกเสมอ และ (-)(-) ก็ได้บวกเสมอเช่นกัน
ดังนั้นเราสามารถลดทอน 2 วงเล็บที่เหมือนกันทิ้งไปได้ครับ.. (ได้ทีละสองๆๆ)

เช่น กำลัง 3, กำลัง 5, ฯลฯ ก็เขียนจุดบนเส้นจำนวนแค่จุดเดียวพอ
ส่วนกำลัง 4, 6, ... ก็เขียนจุดบนเส้นจำนวนเพียง 2 จุดพอครับ
(เหตุที่ไม่ละทิ้งหมด จนเหลือ 0 จุด ก็เพราะอาจทำให้ลืมโบ๋ ณ จุดนั้นครับ)