กระทู้ที่ 0365
ขออนุณาตฺขายหนังสือ ม.ต้นหน่อย…
ตั้งกระทู้ใหม่

เรื่องจำนวนจริงครับตอบ: 5, อ่าน: 7521

ทำไมหาคำตอบอสมการต้องใช้เส้นจำนวน ครับแล้วทำไมต้องใส่ช่วง + - + อ่ะครับเ เพราะเหตุอะใด๋
น้าน 23/06/53 00:02 
ถ้าตอบสั้นๆ ก็คือ "เพราะความเป็นบวกหรือติดลบ ของตัวประกอบแต่ละวงเล็บที่คูณกันอยู่ครับ"

ขออธิบายด้วยตัวอย่างนะครับ สมมติเรามีอสมการ (x-a)(x-b)(x-c) > 0
โดยที่เรียงลำดับแล้วว่า a < b < c  (ลองเขียนเส้นจำนวน a, b, c ตามไปด้วยนะครับ)

จะเห็นว่า เมื่อค่า x มากกว่า c (ไม่ว่าจะใกล้ไกลเท่าไรก็ตาม)
จะทำให้ทั้งสามวงเล็บมีค่าเป็นบวกทั้งหมด คูณกันจึงได้ผลลัพธ์เป็นบวก
ซึ่งอสมการนี้ต้องการผลคูณ ()()() > 0 ก็คือคูณกันแล้วเป็นบวกนั่นเอง
แสดงว่าค่า x ใดๆ ในช่วงนี้ (มากกว่า c) ใช้เป็นคำตอบของอสมการได้หมดเลยครับ

ต่อมา ถ้าเกิด x มีค่าอยู่ระหว่าง b กับ c บ้าง (ไม่ว่าจะเป็นเท่าไรก็ตามในช่วงนั้น)
จะทำให้ (x-a) กับ (x-b) เป็นบวก แต่ว่า (x-c) ติดลบแล้วครับ คูณกันจึงได้ผลลัพธ์เป็นลบ
แสดงว่าค่า x ใดๆ ในช่วงนี้ ไม่ใช่คำตอบของอสมการ

ต่อมา ถ้า x มีค่าอยู่ระหว่าง a กับ b ..จะเกิด (+)(-)(-) คูณกันจึงได้ผลลัพธ์เป็นบวก ใช้ได้
และสุดท้าย ถ้า x มีค่าน้อยกว่า a ไปเลย ..จะเกิด (-)(-)(-) คูณกันได้ผลลัพธ์เป็นลบ ใช้ไม่ได้

ถ้าเรากำหนดจุด a, b, c ลงไปบนเส้นจำนวน จะเห็นได้ชัดเจนครับว่าเมื่อ x มีค่าอยู่ในช่วงต่างๆ
ผลคูณที่ได้จะเป็น + ที่ช่วงขวาสุดก่อนเสมอ (เพราะทุกวงเล็บจะมีค่าเป็นบวก)
แล้วช่วงถัดมาก็เป็น -, +, - สลับกันไปเสมอ (เพราะจะมีค่าติดลบเกิดขึ้น ทีละวงเล็บๆ)

สรุปแล้วจากข้อสังเกตนี้ เส้นจำนวน + - + จึงช่วยแก้อสมการพหุนามได้เสมอครับ
(และก็ไม่จำเป็นต้องมีตัวประกอบ 3 วงเล็บด้วยนะครับ กี่วงเล็บก็เกิดลักษณะเดียวกัน)

ป.ล. ลองเอาไปคิดต่อดูนะครับว่า เมื่อมีตัวประกอบซ้ำกันหลายตัว เช่น (x-a)2(x-b)3 > 0
หรือเมื่อมีการหาร เช่น (x-a)(x-b)/(x-c) > 0 ..จะยังคิดด้วยวิธีเดิมได้ไหม :P
นวย 23/06/53 01:01  [ 1 ] 
(x-a)2(x-b)3 > 0

เมื่อ b มากกว่า a ขะได้เป็น(+)(+)(+)(+)(+) แต่ถ้าอยู่ระหว่าง a b จะได้
(+)(+)(-)(-)(-)  ก็ ใช้ได้ครับ
(x-a)(x-b)/(x-c) > 0 อันนี้ก็ทำเหมือนกันแต่ระวัง ค่าXที่เท่ากับCใช่มะครับ


น้าน 23/06/53 21:13  [ 2 ] 
สาเหตุที่ใส่ช่วง + - + เพราะ บอกว่า ช่วงไหนคูณกันได้ไรใช่มะครับ
เช่นช่วง + คำตอบที่แย่งทั้งหมดคูณ กันจะได้บวก และช่วงลบตัวประกอบทั้งหมดคูณกันก็ได้ลบซึ่งใช้กับที่มันน้อยกว่า 0 ใช่มะครับ พอเข้าใจนิดนึงละครับ อิอิ
น้าน 23/06/53 21:38  [ 3 ] 
ใช่แล้วคร้าบ น้องน้านบรรลุแล้วครับ.. อิๆๆ :P

อยากขอขยายความนิดนึงครับ สำหรับกรณีตัวประกอบหลายวงเล็บซ้ำกัน (หรือยกกำลัง)
เนื่องจากเราทราบว่า (+)(+) ได้บวกเสมอ และ (-)(-) ก็ได้บวกเสมอเช่นกัน
ดังนั้นเราสามารถลดทอน 2 วงเล็บที่เหมือนกันทิ้งไปได้ครับ.. (ได้ทีละสองๆๆ)

เช่น กำลัง 3, กำลัง 5, ฯลฯ ก็เขียนจุดบนเส้นจำนวนแค่จุดเดียวพอ
ส่วนกำลัง 4, 6, ... ก็เขียนจุดบนเส้นจำนวนเพียง 2 จุดพอครับ
(เหตุที่ไม่ละทิ้งหมด จนเหลือ 0 จุด ก็เพราะอาจทำให้ลืมโบ๋ ณ จุดนั้นครับ)
นวย 24/06/53 01:26  [ 4 ] 
ขอบคุณมากขะรับพี่นวย
น้าน 24/06/53 18:07  [ 5 ] 
วิธีพิมพ์สมการดูได้ที่กระทู้ 0072 ครับ      
อัปโหลดรูป/ไฟล์
ถ้าไม่มีรหัสส่วนตัว กรุณาใส่เลขหน้า "ความน่าจะเป็น" ใน Math E-Book .. หรือตั้งรหัสได้ ที่นี่

ทดลองพิมพ์สมการ