ตรีโกณครับบ จะสอบแล้วตอบ: 7, อ่าน: 3520

ขอแปะ 2 ข้อก่อนนะครับ อีกข้อกำลังคิดอยู่ครับ

====================================

ข้อ 1. (มุมทั้งหมดให้ถือว่ามีสัญลักษณ์องศาด้วยนะครับ)
ลองคิด tan46 เล่นๆ ก่อน.. จะได้ tan46 = (tan45 + tan1)/(1 - tan45 tan1)
ซึ่ง tan45 = 1 ..ดังนั้น tan46 = (1 + tan1)/(1 - tan1) .....(๑)

และเมื่อคิดด้วยวิธีการเดียวกัน จะได้ tan44 = (1 - tan1)/(1 + tan1) .....(๒)
(หรือจะคิดจาก tan44 = tan(90-46) = cot46 = 1/tan46 ก็ได้ครับ)

จากโจทย์ แจกแจงแล้วดึงตัวร่วม จะได้.. (1 - tan1) tan46 + (1 + tan1) tan44
แทนค่าเศษส่วนจาก (๑) และ (๒) ที่คิดไว้ ลงไป
จะได้ = (1 - tan1)(1 + tan1)/(1 - tan1) + (1 + tan1)(1 - tan1)/(1 + tan1)
       = (1 + tan1) + (1 - tan1)
       = 2
ดังนั้นคำตอบข้อแรกคือ 2 ครับผม :]

====================================

ข้อ 3.
จากข้อมูลในโจทย์ จะทราบว่าเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีมุม C เป็นมุมยอด
โดยอัตราส่วนความยาวด้าน a:b:c = 1:1:r
จากนั้นเขียนรูป แล้วลากส่วนสูงจาก C ไปแบ่งครึ่ง AB พอดี (ได้ความยาว r/2, r/2)

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้น จะได้ cosA = cosB = (r/2):1 = r/2 .....(๑)

และหา cosC ได้จากกฎของ cos ..นั่นคือ
cosC = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)
       = (1 + 1 - r^2)/(2 1 1)
       = (2 - r^2)/(2) = 1 - (r^2)/2 .....(๒)

ดังนั้น cosA + cosB + cosC = r/2 + r/2 + [1 - (r^2)/2] = 1 + r - (r^2)/2

====================================

ป.ล. จะสอบแล้ว หมายความว่าจะไปเป็นคนสอบหรือจะไปออกข้อสอบเนี่ยครับ.. งงๆ :P

ข้อ 2. คิดออกแล้วครับ.. ข้อนี้กวนมากเลยครับ อิๆๆ :P

จากสมบัติ cos(-x) = cos(x) ทำให้เราทราบว่า cos(B-A) = cos(A-B)
ดังนั้นสมการที่โจทย์ให้มา สามารถย้าย sin^2 (A-B) ไปบวกทางขวา ได้เป็น 1
จึงเหลือสมการเพียง.. cosec^2 (A+B) + sin^2 (2A-B) = 1

ย้าย sin^2 ไปลบทางฝั่งขวา จะได้.. cosec^2 (A+B) = cos^2 (2A-B)
อาจแปลง cosec ให้เป็น sin ได้เป็น.. 1 = sin^2 (A+B) cos^2 (2A-B)

ขอบเขตของค่า sin^2 กับ cos^2 ต้องอยู่ในช่วง [0, 1] เสมอ
ดังนั้นสมการนี้จะเป็นจริงเมื่อ sin^2 (A+B) = 1 และ cos^2 (2A-B) = 1 พร้อมกันเท่านั้น
(หากไม่แปลง cosec เป็น sin ก็ยังคิดได้ครับ โดยค่า cosec^2 จะอยู่ในช่วง [1,infinity) เสมอ)

โจทย์กำหนดขนาดของมุม A กับ B อยู่ในช่วง (0, pi/2)
แสดงว่า A+B ต้องอยู่ในช่วง (0, pi) ..นั่นคือ A+B = pi/2 .....(๑)
และ 2A-B ต้องอยู่ในช่วง (-pi/2, pi) ..นั่นคือ 2A-B = 0 .....(๒)
..แก้ระบบสมการได้ A = pi/6 และ B = pi/3 ครับ คำตอบข้อนี้จึงเป็น sin(A-B) = -1/2


ป.ล. การเรียนครูคณิตศาสตร์นี่โจทย์ยากมากเลยนะครับ นับถือจริงๆ ครับ
ผมเกือบจะยอมแพ้หลายทีละ ^ ^"
ถ้ามีเทคนิคดีๆ ในการสอน อย่าลืมเอามาฝากกันบ้างนะคร้าบ..