ทำไมที่นี่เงียบจังงง........ครับบบ
วันนี้ก็เลยเอาโจทย์ให้ทุกคนคิดครับบบบ
1.กำหนด z1 และ z2 เป็นจำนวนเซิงซ้อนใดๆ
จงแสดงว่า z1.z2=0 ก็ต่อเมื่อ z1=0 หรือ z2=0
2.กำหนดให้ w=cos\theta +isin\theta เมื่อ cos\theta น้อยกว่า 0 และ 2cos^2\theta =1
ถ้า z เป็นจำนวนเซิงซ้อนมีสมบัติว่า lwzl=2 และ Arg(z/w)=พาย/4
จงหา z^2+z+1 ในรูป a+bi
3.กำหนดให้ z=root3-i จงตอบคำถามต่อไปนี้
3.1จงแสดงว่า z^n=2^n(cosnพาย/2-isinnพาย/2)
3.2จงหาค่าของจำนวนนับ n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ z^n เป็นจำนวนจริงบวก
4.กำหนดให้ z=-1+root3i จงหาค่าของจำนวนจริง p ที่ทำให้ Arg(z^2+pz)=5พาย/6
ปล.ผมว่าพี่นวยน่าจะเอาโจทย์เลขมาโพสทุกๆสัปดาห์เป็นการให้การบ้านคนที่เข้ามาบอร์ดนะครับบบ...........จะได้สนุกๆๆๆ
ครูหนุ่ม
กระทู้นี้นานแล้วแฮะ ขอชิงเฉลยเลยก็แล้วกันนะครับ :P
ข้อ 1. คำว่า "ก็ต่อเมื่อ" ..ต้องแยกพิสูจน์เป็น "ถ้า..แล้ว" แบบชี้ไปและชี้กลับ
(1) ถ้า z
1.z
2 = 0 .. สมมติว่า z
1 = a+bi, z
2 = c+di
แจกแจงคูณแล้วจับเท่ากับ 0 จะได้ ac = bd .....(๑) และ ad = -bc .....(๒)
นำ d คูณสมการ (๑) และนำ c คูณสมการ (๒) แล้วจับเท่ากัน จะได้ bd
2 = -bc
2
นั่นหมายความว่า b = 0 หรือ d
2 = -c
2
- กรณี b = 0 โดยที่ d, c เป็นเท่าไรก็ได้.. จะได้ a = 0 ด้วย ..นั่นคือ z
1 = 0
- กรณี b เป็นอะไรก็ได้ และ d
2 = -c
2.. ก็จะได้ d = c = 0 เท่านั้น ..นั่นคือ z
2 = 0
แสดงว่า ถ้า z
1.z
2 = 0 แล้ว z
1 = 0 หรือ z
2 = 0
(2) ถ้า z
1 = 0 หรือ z
2 = 0
ย่อมคูณกันได้ z
1.z
2 = 0 อยู่แล้ว อันนี้เห็นได้ชัดเจนครับ
==========================================
ข้อ 2. โจทย์กำหนดมุม \theta ติดลบ ดังนั้น 2\theta ติดลบด้วย
จาก 2cos^2\theta = 1 ..ย้ายเลข 1 ไปข้างซ้ายจะได้ cos(2\theta) = 0
แสดงว่า 2\theta = -pi/2 หรือ -3pi/2 หรือ -5pi/2 หรือ -7pi/2 ..ฯลฯ
นั่นคือ Arg(w) = \theta = -pi/4 หรือ -3pi/4 หรือ -5pi/4 หรือ -7pi/4 ..ฯลฯ
(ในวงกลมหนึ่งวง จะมีคำตอบที่ต่างกันอยู่ 4 ตำแหน่ง)
จาก Arg(z/w) = Arg(z) - Arg(w) = pi/4
ดังนั้น Arg(z) = pi/4 + Arg(w) ..แทนค่าได้เป็น 0 หรือ -pi/2 หรือ -pi หรือ -3pi/2
(ในวงกลมหนึ่งวง จะมีคำตอบที่ต่างกันอยู่ 4 ตำแหน่ง)
และจาก |wz| = 2 ..แต่เราทราบว่า |w| = 1 ดังนั้น |z| = 2
แสดงว่า.. z = 2 หรือ -2i หรือ -2 หรือ 2i
ดังนั้น ค่าของ (z
2+z+1) เท่ากับ 7 หรือ -3-2i หรือ 3 หรือ -3+2i ครับ
==========================================
ข้อ 3.1 ฝั่งขวาของโจทย์น่าจะได้ n pi/6 นะครับ
..เพราะ z = 2 (cos (-pi/6) + i sin (-pi/6)) = 2 (cos pi/6 - i sin pi/6)
จากนั้นอ้างสูตรยกกำลัง n ของรูปเชิงขั้ว ได้คำตอบเลยครับ (แบบขี้โกง อิๆๆ)
ข้อ 3.2 .. z
n จะเป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ มุมเท่ากับ 0, 2pi, 4 pi, ...
ดังนั้นจึงให้ n pi/6 = 0, 2pi, 4 pi, ...
พบว่าจำนวนนับ n ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือ 12
==========================================
ข้อ 4. จากค่า z ที่ให้มา หาค่าของ z
2+pz ได้เท่ากับ (2-p) + (p(รู้ท3)-2)i
ดังนั้น (p(รู้ท3)-2) / (2-p) = tan(5pi/6) ..นั่นคือ -1/รู้ท3
..ย้ายข้างแก้สมการได้ p = (รู้ท3) - 1
นวย