ก่อนอื่นขอขอบคุณสำหรับคำถามนี้มากๆ เลยครับ เพราะเป็นเรื่องที่ผมหลงลืมไปนานแล้ว
จนต้องไปเปิดดูจากตำรา ซึ่งก็พบว่าอธิบายในระดับ ม.ปลาย ได้ยาก แต่จะลองเล่าคร่าวๆ นะครับ
(ขอบคุณคุณน้าน และน้องชอฯ ที่มาช่วยตอบด้วยนะคร้าบ..)
ในวิชาสถิติจะมีสิ่งหนึ่งที่เรียกว่า ค่าคาดหมาย (expectation) หรือ E[...]
ซึ่งเป็นการประมาณค่าของตัวแปรหนึ่งๆ โดยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นที่แต่ละค่าจะเกิดขึ้น
เช่น ในการทอดลูกเต๋าหนึ่งลูก สมมติว่า X เป็นจำนวนแต้มของหน้าที่หงายขึ้น
จะได้ค่าคาดหมายของจำนวนแต้ม หรือ E[X] = (1)(1/6) + (2)(1/6) + ... + (6)(1/6) = 3.5
(การถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็น ไม่จำเป็นต้องหารด้วยน้ำหนักรวม เพราะเป็น 1 เสมอ)
ซึ่ง E[X] = 3.5 หมายความว่า จำนวนแต้มที่จะหงายขึ้นโดยเฉลี่ยเป็น 3.5
จะเห็นว่าสำหรับตัวแปร X โดยทั่วไป.. E[X] ก็คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตนั่นเองครับ
โดยในการสุ่มตัวอย่างนั้น เขาคำนวณมาได้ว่า
$E[\bar{X}] = \mu$ พอดี
นั่นคือใช้
$\bar{X}$ (ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง) เป็นตัวประมาณค่า
$\mu$ (ค่าเฉลี่ยของประชากร) ได้เลย
ส่วนความแปรปรวน.. ถ้าเราให้ความแปรปรวนของประชากร (
$\sigma^2$) เท่ากับ
${\sum(x_i - \mu)^2}/N$
เราจะพิสูจน์ได้ว่า
$E[s^2] = \sigma^2$ ก็ต่อเมื่อ
$s^2 = {\sum(x_i - \bar{X})^2}/(n-1)$ เท่านั้น
คือต้องคิด
$s^2$ จาก
${\sum(x_i - \bar{X})^2}/(n-1)$ จึงจะใช้เป็นตัวประมาณค่า
$\sigma^2$ ได้ดีที่สุดครับ
แต่รายละเอียดการพิสูจน์มันค่อนข้างยุ่งเหยิงนะครับ ฉะนั้นเราอย่าเพิ่งไปยุ่งกับมันเลยครับ อิๆๆ :P
นวย