กระทู้ที่ 0429
ทฤษฎีที่แย้งกับ Stars&bars
ตั้งกระทู้ใหม่

การคำนวณจำนวนวิธีแจกหนังสือที่แตกต่างกัน 10 เล่มแก่เด็ก 5 คนตอบ: 8, อ่าน: 10902

ผมมีโจทย์คณิตศาสตร์พื้นฐานม.5 เรื่องความน่าจะเป็นที่ให้
คำนวณจำนวนวิธีแจกหนังสือที่แตกต่างกัน 10 เล่มแก่เด็ก 5 คนจนหมดทุกเล่ม โดยได้รับหนังสืออย่างน้อยคนละ 1 เล่ม

ถ้าคำนวณตามวิธีของ อจ นวย จะต้องแบ่งกลุ่มออกเป็น
11116,11125,11134,11224,11233,12223,22222 แล้วะคำนวณหาจำนวนวิธีแยกกันถึง 7 จำนวน ตามการแบ่งกลุ่ม และนำมาบวกกัน จะได้รวม 42525 วิธี

แต่ผมคิดว่าวิธีคิดเช่นนี้คงยุ่งยากเกินระดับเลขคณิตพื้นฐานม.5 และน่าจะใช้วิธีคำนวณที่ง่ายกว่านี้
ไม่ทราบว่าคิดคำนวณอย่างง่ายได้อย่างไรครับ
boonchuay (แก้ 05/09/54 09:30)  05/09/54 09:28 
ในกรณีนี้ระบุว่าเป็นโจทย์คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.5 ผมจึงคิดว่าคำตอบคือ "7 วิธี" ครับ
คือเข้าใจว่าโจทย์คงอยากให้เขียนแจกแจงกรณีออกมา และถามว่าได้ทั้งหมดกี่กรณีเท่านั้นเองครับผม
เพราะการแบ่งของโดยอาศัยกฎการแบ่งกลุ่มนั้น เกินหลักสูตรคณิตพื้นฐานไปมาก

ถ้าต้องการนับให้ครบจริงๆ จากประสบการณ์ผมยังไม่เคยเห็นวิธีที่ง่ายกว่าการคิดทีละกรณีๆ ครับ

แต่ผมเป็นคนไม่ค่อยขวนขวายเท่าไรครับ ยึดแต่หลักการพื้นฐานไปใช้ครอบจักรวาลอย่างเดียว
เวลาไปเจอทฤษฎีแปลกๆ อธิบายยากๆ ตามเว็บต่างๆ ผมมักจะถอยอยู่เรื่อยเลยครับ แหะๆๆ
..ดังนั้นวิธีสั้นๆ อาจจะมีอยู่ ซึ่งนักศึกษาเอกคณิตศาสตร์/เอกสถิติ อาจทราบมากกว่าผมครับ 😀
นวย 05/09/54 12:58  [ 1 ] 
ขอบคุณมากครับ อจ นวย ผมว่าจะไปขอดูว่าอาจารย์ท่านนั้นเฉลยอย่างไร ถ้าโจทย์เปลี่ยนเป็นกรณีหนังสือเหมือนกันทุกเล่ม ก็คงได้คำตอบเป็น 9C4 =126 จะยังเกินระดับเลขพื้นฐาน ม5 ไหมครับ
ผมยังสับสนว่าเนื้อหาความน่าจะเป็น คณิต พื้นฐาน และ เพิ่มเติม จะแตกต่างกันแค่ไหน ส่วนที่ออกใน o-net ม6 จะเป็นระดับคณิตพื้นฐานเท่านั้น ใช่หรือไม่ครับ
boonchuay 05/09/54 13:13  [ 2 ] 
ถ้านับเพียงจำนวนกรณีแบบนี้ หนังสือต่างกันหรือเหมือนกัน ก็ได้ผลเช่นเดียวกันครับผม
เพราะยังไม่ได้เจาะรายละเอียดของการสลับตัวเล่มระหว่างกัน

แต่ขอโทษที่เมื่อกี๊ผมตอบผิดไปครับ คำตอบไม่ใช่ 7 เพราะแต่ละกรณีที่ได้นั้น ผมลืมสลับคนครับ
เช่น กรณี 11116 สลับได้ 5 แบบ (นักเรียน 5 คนนั้น ใครจะได้ 6 เล่ม)
กรณี 11125 สลับได้ 20 แบบ (เอ.. ตรงนี้คิดจาก 5!/3! ถือว่าเกินหลักสูตรคณิตพื้นฐานแล้วครับ)
..ฯลฯ

ส่วนขอบเขตของเนื้อหา "ความน่าจะเป็น" ในคณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม เป็นดังนี้ครับ
คณิตพื้นฐาน // ข้อสอบ O-Net ม.6
- แผนภาพต้นไม้ นำไปสู่กฎการนับเบื้องต้น (หรือกฎการคูณ) และเครื่องหมายแฟคทอเรียล
- การสลับที่สิ่งของเป็นแถวตรง แบบมีเงื่อนไขแปลกๆ เช่น ผู้ชายต้องอยู่ติดกันหมด
- เมื่อมีการแยกกรณี จะนำจำนวนแบบของทุกกรณีมาบวกกัน
- คิดความน่าจะเป็น จาก n(A)/n(S) และทราบว่าความน่าจะเป็นรวมเท่ากับ 1 เสมอ
- อาจมีเรื่องยูเนียน, อินเตอร์เซคชัน ของเหตุการณ์ (หรือ, และ) ให้นำเรื่องเซตมาช่วยคิด
(คณิตพื้นฐานไม่มีเรื่อง Combination (C) เลยครับ แต่เคยเห็นคุณครูบางโรงเรียนก็สอนแถมให้ครับ)

คณิตเพิ่มเติม // ข้อสอบอื่นๆ เช่น PAT1, สอบรับตรง
จะเพิ่มเนื้อหาดังนี้ครับ
- Permutation ไปจนถึงการเรียงสับเปลี่ยนในลักษณะวงกลม (มีของซ้ำบางส่วนได้)
- Combination ไปจนถึงกฎการแบ่งกลุ่ม (แต่ของต้องต่างกันทั้งหมด)
- การประยุกต์ C ไปใช้กระจายทวินาม (a+b)n
(ส่วน Stars & Bars นั้นเกินหลักสูตร และยังไม่เคยออกข้อสอบเลยครับ)
นวย 05/09/54 14:13  [ 3 ] 
ตกลงอาจารย์ได้เปลี่ยนโจทย์จากเด็ก5คนเป็นเด็ก2คนครับ นี่ทำให้ง่ายพอจะเป็นปัญหาระดับคณิตพื้นฐานม5ไหมครับ
boonchuay 05/09/54 23:03  [ 4 ] 
ก็ยังคงเหมือนเดิมครับ คือถ้าถามเฉพาะจำนวนกรณี หรือถ้าหนังสือเหมือนกันหมด
จะถือว่าอยู่ในหลักสูตร และคำตอบคือ 9 ได้แก่ 1-9, 2-8, 3-7, ..., 9-1 ครับผม

แต่ถ้าหนังสือต่างกัน และต้องการให้นับแบบครบจริงๆ อย่างไรก็คงเลี่ยง C ไปไม่พ้นครับ
จึงเกินหลักสูตรพื้นฐานครับ (ผมชักไม่แน่ใจว่าอาจารย์ผู้ตั้งโจทย์จงใจให้เกินหลักสูตรหรือเปล่านะครับ)
นวย 07/09/54 01:07  [ 5 ] 
ขอบคุณ อจ นวยอีกครั้งที่สละเวลาให้ความกระจ่าง
สำหรับโจทย์นี้เข้าใจว่าเป็นหนึ่งในแบบฝึกหัด เกี่ยวกับกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับครับ คงเน้นวิธีการตัดสินใจแจกหนังสือแต่ละเล่มออกไป โดยให้นักเรียนศึกษาจากตัวอย่างคล้ายกันเช่น

แจกหนังสือต่างกัน 4 เล่มทั้งหมดให้นักเรียน 10คน
ไม่มีเงื่อนไข ได้ 10000 วิธี
ไม่ซ้ำคนได้ 10!=5040 วิธี
ซ้ำคนได้ 10000-5040=4960 วิธี

ส่วนแบบฝึกหัดข้อนี้การแจกหนังสือต่างกัน10เล่ม ให้เด็ก 5 คน โดยไม่มีเงื่อนไขเฉลยได้ 5^10 วิธี
ส่วนการเปลียนโจทย์เป็นเด็ก 2 คนให้แต่คนได้รับอย่างน้อย 1 เล่มยังไม่เฉลยออกมา ผมสงสัยว่าระดับนี้(คณิตพื้นฐานม.5)คงคิดง่ายๆไม่ตัดวิธีที่จำนวณหนังสือที่รวมกันในเด็กทั้งหมดไม่เท่ากับจำนวนหนังสือออกไป ผลการคำนวณจึงไม่เป็นจริงนัก ไม่ทรายว่าผมเข้าใจถูกต้องหรือไม่ครับ
boonchuay (แก้ 07/09/54 12:27)  07/09/54 11:51  [ 6 ] 
ยินดีตอบเสมอครับผม

"จำนวนวิธีแจกหนังสือที่แตกต่างกัน 10 เล่ม แก่เด็ก 5 คน โดยได้รับหนังสืออย่างน้อยคนละ 1 เล่ม"
ถ้าโจทย์นี้ต้องไม่เฉลยว่า 5^10 นะครับ เนื่องจากมีแบบที่นักเรียนบางคนไม่ได้รับหนังสือปนอยู่ด้วย
แต่ถ้าไม่มีเงื่อนไข คือแจกอย่างไรก็ได้ (มีคนที่ไม่ได้รับสักเล่มก็ได้) อันนี้ 5^10 ถูกต้องครับ

ดังนั้น โจทย์ที่เปลี่ยนเป็นเด็ก 2 คน ถ้าแบ่งอย่างไรก็ได้ จะตอบ 2^10 แบบ
ถ้าแต่ละคนต้องได้รับอย่างน้อยหนึ่งเล่ม จะตอบ 2^10 - 2 แบบครับ
(ลบทิ้งไปสองแบบ คือวิธีที่คนใดคนหนึ่งได้รับหนังสือไปหมดทุกเล่ม)
สรุปว่าถ้ามีเด็ก 2 คน จะคิดในแบบที่ไม่เกินหลักสูตรได้ครับ เมื่อวานผมนึกไม่ถึงครับ แหะๆๆ
นวย 07/09/54 14:19  [ 7 ] 
ขอบคุณอจ นวยอีกครั้งครับที่สละเวลาให้เต็มที่ ผมเกือบไปต่อว่าอจ แล้วว่ากรณีเด็ก 2คน ก็ยังเกินคณิตพื้นฐานไป ผมลองคำนวณแบบยากแบ่ง เป็น 7 จำนวนบวกกันแล้วได้ 1022 ซึ่งเท่ากับ 2^10-2 จริงๆด้วย
ถ้าไม่ฉลาดล้ำสุดยอด จะต้องคิดว่าต้องใช้วิธีที่ซับซ้อนเท่านั้น อีกอย่างหนึ่งผมได้ปัญญาอย่างมากจากการคิดตามเฉลยเรื่องนี้ในเล่ม 2 มีวิธีคิดน่าทึ่งจริงๆ หลังจากทำโจทย์กว่า สองร้อยข้อ ทิ้งไปนานๆ มาทำใหม่ยังงงบางข้ออยู่เลย ต้องดูเฉลยอีกครั้ง เืกือบคิดว่าทำโจทย์มากขนาดนี้ต้องเก่งแล้ว เพราะยังมีโจทย์อีกมากที่แตกต่างออกไป ต้องอาศัยการแก้ปัญหาแปลกๆต่างไปจากเดิมได้

แต่แน่นอนการหาประสพการณ์จากการทำโจทย์เทียบกับเฉลยยิ่งมากก็ยิ่งทำให้ได้แนวคิดไปใช้แก้ปัญหาได้ดียิ่งขึ้น ซึ่งอจ นวยรวบรวมข้อสอบต่างๆมาได้ค่อนข้างสมบูรณ์กว่าแหล่งอื่น ถ้านักเรียนคนไหนอยากเก่งคณิตมากๆ จะไม่ผิดหวังในการติดตามผลงานและหาซื้อหนังสือที่ตีพิมพ์ออกมา จากอจ นวยก็เพียงพอแล้ว ไม่ต้องไปหาจากแหล่งอื่นๆอีก

ขอขอบคุณอย่างสูงครับ

boonchuay (แก้ 07/09/54 16:09)  07/09/54 15:37  [ 8 ] 
วิธีพิมพ์สมการดูได้ที่กระทู้ 0072 ครับ      
อัปโหลดรูป/ไฟล์
ถ้าไม่มีรหัสส่วนตัว กรุณาใส่เลขหน้า "ความน่าจะเป็น" ใน Math E-Book .. หรือตั้งรหัสได้ ที่นี่

ทดลองพิมพ์สมการ