กระทู้ที่ 0448
บทความ#9 : ตอบแต่ตามตรง
ตั้งกระทู้ใหม่

บทความ#10 : 9 ซ้ำ / 3 ประตูตอบ: 2, อ่าน: 2236

         สวัสดีอีกครั้งครับท่านผู้อ่านที่น่ารัก! เผลอแป๊บเดียวบทความแก้ขัดระหว่างรอลุ้นน้ำท่วมก็มาถึงตั้งตอนที่ 10 แน่ะ ขอบคุณที่ยังติดตามกันครับ ไม่รู้ว่าถ้าผมโดนท่วมแล้วจะได้มานั่งเขียนอีกหรือเปล่านะครับ ซึ่งดูจากสภาพการณ์ อีก 1-2 วันก็คงโดนแล้วล่ะ > <

         (ตอนนี้ผมอยู่เขตดินแดง น่าจะเป็นปลายทางที่จะระบายน้ำจากรังสิต ดอนเมือง ลาดพร้าว มาลงอุโมงค์ใต้ดินพอดีครับ ส่วนบ้านพ่อแม่ที่หนองแขมก็โดนไปล่วงหน้าแล้วเช่นกัน แหม่ ช่างอินเทรนด์มากๆ)

         วันนี้ผมมีโจทย์มานำเสนอ 2-3 ข้อ ซึ่งเคยเขียนลงในแฟนเพจ facebook ครับ ลองมาดูกันดีกว่าครับว่าน่าสนใจหรือเปล่า รับรองว่าเกี่ยวข้องกับเนื้อหาที่เราเรียนกันเต็มๆ!

==============================================

         ข้อแรกหลายคนคงเคยพบมาบ้างครับ แล้วก็ยังเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ไม่จบสิ้น นั่นคือทศนิยมซ้ำไม่รู้จบ "0.99999..." ถือเป็นจำนวนเต็มหรือเปล่า? มีค่าเท่ากับ 1 ใช่ไหม? (หรือโจทย์อาจเปลี่ยนเป็น ค่าของ "2.99999..." เท่ากับ 3 ใช่ไหม? แบบนี้ก็ถือเป็นคำถามเดียวกันนะครับ)

         ผมจะลองเขียนอธิบายอย่างชัดๆ อีกสักครั้ง เผื่อใครอยากเก็บไว้อ้างอิง และแอบหวังว่าจะเป็นการอธิบายครั้งสุดท้ายแล้วนะครับ แหะๆๆ ^ ^"

         ถ้าใครเคยเรียนเรื่องอนุกรมอนันต์แล้ว คงจะทราบดีว่า 0.99999... นั้นมีค่า "เท่ากับ 1" จึงถือเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่นอนมิต้องสงสัย เราพิสูจน์ได้โดยอาศัยสูตรของอนุกรมอนันต์ ดังนี้ครับ

         (ก่อนอื่นต้องเข้าใจตรงกันกันก่อนว่า 0.99999.. นั้นหมายถึงมีทศนิยมเป็นเลข 9 ต่อไปอีกไม่รู้จบ หรือเรียกง่ายๆ ว่ามีถึง "อินฟินิตี้" หลัก นะครับ)

         เนื่องจาก 0.9999999.. = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...
พบว่าเป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ที่มีพจน์แรกเป็น 0.9 และอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 0.1
ดังนั้น ผลรวมจึงเท่ากับ a1/(1-r) = 0.9/(1-0.1) = 0.9/0.9 = 1 เป๊ะ!

         หรือบางคนก็พึ่งการหารแบบประถมอย่างนี้ซะเลย
เราทราบว่า 1/9 = 0.1111111..
ถ้านำ 2 คูณ ย่อมได้ 2/9 = 0.2222222.. (ลองหารดูก็ได้นะครับ)
หรือถ้านำ 3 คูณ ย่อมได้ 3/9 = 1/3 = 0.3333333.. (อันนี้ก็เจอบ่อย)
ดังนั้นถ้านำ 9 คูณ ย่อมได้ 9/9 (= 1) = 0.9999999.. คร้าบ ^ ^

         นอกจากนี้ยังมีวิธีคำนวณแบบอื่นๆ ได้อีกครับ เช่น
สมมติให้ 0.9999999.. = x _____(๑)
นำ 10 มาคูณสมการแรก ก็จะได้ 9.999999.. = 10x _____(๒)

         ซึ่งตรงทศนิยม .9999999.. ไปเรื่อยๆ นั้น เราถือว่าเท่ากันเป๊ะ
(ห้ามบอกว่าน้อยลง 1 หลักนะครับ เพราะมันมีอินฟินิตี้หลัก จะหายไปหลักนึงก็ยัง 'ตี้' อยู่ดี)
ดังนั้น เมื่อนำ (๒) ลบด้วย (๑) จะได้ 9 = 9x ..ก็แสดงว่า x = 1 นั่นเองครับ!

         และที่สำคัญ ไม่ว่าจะแสดงวิธีคำนวณแบบใดก็ตาม ถ้าเรายอมรับแล้วว่า 0.99999.. = 1 ก็ต้องยอมรับว่า 0.99999.. เป็นจำนวนเต็มด้วยนะครับ ที่พูดย้ำนี่ก็เพราะผมเคยได้ยินมาว่า มีคุณครูท่านหนึ่งตอบนักเรียน "0.9999999.. ไม่ใช่จำนวนเต็ม เพราะมันมามีค่าเป็น 1 ทีหลัง แต่ก่อนหน้านั้นมันก็ยังเป็นทศนิยมอยู่" ผมล่ะอึ้งไปแปดวินาที! มันมีแบบเป็นก่อนกับเป็นหลังด้วยเหรอครับ จ๊ากกก! ^ ^"

         ตอนที่ผมโพสวิธีเหล่านี้ลงในเฟซบุ๊ค ก็มีรุ่นน้องท่านหนึ่งมาให้ความเห็นว่า "พิสูจน์ข้างบนก็ดูเหมือนใช่ แต่ยังไงมันก็ขัดกับคอมมอนเซ้นต์อ่ะพี่ 'เกือบใช่' กับ 'ใช่' ยังไงมันก็ไม่เท่านี่นา" และอีกหลายวันถัดมาก็มีน้องคนหนึ่งมาโพสในทำนองเดียวกันว่า "ส่วนตัวผมใช้ความรู้สึก ว่า 0.99999... ยังไงก็ต้องน้อยกว่า 1 เพราะว่ามันต้องขาดไป 0.000...1 อยู่ดีครับ"

         ขอชี้แจงแบบนี้ครับ.. ความรู้สึกที่ว่า 0.99999... กับ 1 เต็มๆ นั้นมันยังต่างกันอยู่นิดนึง เกิดจากความไม่คุ้นเคยเกี่ยวกับอินฟินิตี้ครับ ซึ่งใครๆ ก็เป็นแหละครับ เพราะไม่มีใครเคยไปถึงมันสักที :P

         ถ้าให้ลองนึกใหม่อีกทีว่า ผลต่าง "0.00000...1" นั้น ต้องมีเลข 0 อยู่อินฟินิตี้ตัว ใช่ไหมครับ แล้วถ้าอย่างงั้นเลข 1 จะถึงคิวโผล่มาตอนไหนได้หว่า? ไม่มีทางเลยใช่ไหมครับ นั่นก็แสดงว่า 0.00000...1 ในที่นี้มีค่า "เป็น 0 ไปเลย" นั่นเองล่ะครับ

         เรื่องนี้ใครเรียนลิมิตมาแล้วจะเข้าใจครับ เราเรียกว่า "ค่าของ 0.00000...1 เมื่อจำนวนหลักเข้าใกล้อินฟินิตี้" ครับ และมีค่าเป็น 0 เป๊ะๆ

         จึงสรุปได้ว่า 0.99999... กับ 1 ไม่มีระยะห่างระหว่างกันครับ มันไปเท่ากันที่ทศนิยมตำแหน่งที่อินฟินิตี้ครับ ต้องยอมนะครับต้องยอม ^ ^


         ป.ล. อ่านวิธีพิสูจน์แบบอื่นๆ ได้ที่ https://en.wikipedia.org/wiki/0.999

==============================================

         โจทย์ข้อถัดมาเกี่ยวกับเรื่องความน่าจะเป็นครับ เป็นโจทย์ที่โด่งดังระดับโลกตั้งแต่อดีตเชียวนะ ลองอ่านโจทย์ช้าๆ แล้วคิดภาพตามไปด้วยนะครับ

         ในเกมโชว์รอบแจ็คพอต มีรางวัลรออยู่หลังประตู 1 ใน 3 บาน ซึ่งพิธีกรรู้ว่าเป็นบานใด ทีนี้เมื่อคุณเลือกประตูใดประตูหนึ่งแล้ว พิธีกรก็จะ "แบไต๋" เฉลยประตูอื่นที่ไม่มีรางวัลโดยเปิดทิ้งไป 1 บาน (ทำให้เหลือประตูแค่ 2 บาน) และถามคุณว่าจะเปลี่ยนใจย้ายไปเลือกอีกประตูไหม.. คุณจะเปลี่ยนไหมครับ?

         อ้อ! ขอทำความเข้าใจเพิ่มเติมก่อนครับว่า ไม่ว่าเราจะเลือกประตูที่ถูกหรือผิดก็ตาม พิธีกรจะต้องเปิดประตูที่ไม่มีรางวัลทิ้งไป 1 บานเสมอ (เป็นข้อบังคับของเกมนี้) โดยไม่ได้เกี่ยวกับว่าเพราะเราเลือกถูกเขาจึงแกล้งถามให้เปลี่ยนใจนะครับ

         ตามความรู้สึกผิวเผินแล้ว การเหลือประตู 2 บาน ซึ่งมีรางวัล 1 บาน ก็ควรจะมีโอกาสได้รางวัลเป็น 1/2 (หรือ 50:50) ดังนั้นจะเปลี่ยนหรือไม่เปลี่ยนก็มีโอกาสเท่ากัน จึงไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนใช่ไหมครับ (และเราก็มักเลือกที่จะไม่เปลี่ยน เพราะกลัวถ้าเปลี่ยนแล้วพลาดจะเจ็บใจยิ่งกว่าเดิม ฮ่าๆๆ)

         แต่เชื่อไหมครับว่าตามหลักความน่าจะเป็นแล้ว คุณควรเปลี่ยนประตูครับ! เพราะโอกาสได้รางวัลจะมากขึ้น (คือไม่ใช่ 1/2) เอ๊ะมันเพราะอะไรกันนะ ^ ^

         ถ้าอยากลองทดสอบความรู้ของตัวเอง ก็ลองคิดๆ ดูก่อนนะครับว่าทำไมจึงควรเปลี่ยนประตู และความน่าจะเป็นที่ว่ามากขึ้นนั้นเป็นเท่ากับเท่าไร แต่ถ้าคิดไม่ออกเราค่อยมาดูคำอธิบายด้านล่างนี้กันครับ..

         เราจะลองมาแจกแจงกรณีกันดู สมมติว่าประตูทั้งสามมีชื่อว่า A, B, C และประตูที่มีรางวัลสมมติว่าคือ A ก็แล้วกันครับ แต่ในฐานะผู้เล่นเกมเราไม่รู้ว่าประตูไหนมีรางวัล จึงสุ่มเลือกมาประตูหนึ่ง

- ถ้าเราเลือกประตูถูกตั้งแต่แรก (A) แล้วมาเปลี่ยนใจทีหลัง เราก็จะ "อด"
- แต่ถ้าเราเลือกประตูผิดตอนแรก (B หรือ C) แล้วมาเปลี่ยนใจ เราก็จะ "ได้"

         ดังนั้นโอกาสที่เราเปลี่ยนใจแล้วจะได้รางวัล มีถึง 2/3 ครับ ก็คือตอนเริ่มให้เลือกประตูที่ไม่มีรางวัล ซึ่งมีอยู่ตั้ง 2 บานแน่ะ (แต่ถ้าไม่เปลี่ยนใจแล้วได้รางวัล ก็จะต้องเลือกให้ถูกทันทีในตอนเริ่ม ซึ่งจะมีโอกาสเพียง 1/3 อย่างที่รู้กันครับ)

         หรือจะมองแบบนี้ก็ได้ครับอาจจะเห็นภาพยิ่งขึ้น.. ถ้าเราเลือกแล้วไม่เปลี่ยนใจ ก็เหมือนเราได้รับไป 1 ประตู แต่ถ้าเลือกแล้วเปลี่ยนใจ ก็เหมือนไปเอาอีก 2 ประตูที่เหลือ โดยพิธีกรจะช่วยเปิดประตูที่ผิดทิ้งให้ก่อน นั่นเองแหละคร้าบ โอกาสได้รางวัลมากกว่าเห็นๆ ^ ^

         แต่ถ้ามาเห็นตอนที่พิธีกรเปิดทิ้งไป 1 ประตูแล้ว และมาเลือกเอาจาก 2 ประตูที่เหลือ อันนี้ความน่าจะเป็น 1/2 แน่นอนครับ.. ส่วนที่ผมได้อธิบายว่า 2/3 ไปนั้น คือความน่าจะเป็นที่มองตั้งแต่เริ่มเลือกตอนมี 3 ประตูนะครับ (เรียกว่า "ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข" หรือกฎของเบย์ อยู่ในวิชาสถิติระดับมหาวิทยาลัยครับ)

         คุณครูท่านหนึ่งอธิบายเพิ่มเติมไว้อย่างดีในช่องความคิดเห็นครับ จึงขอยกมาไว้ที่นี่ด้วย

         เนื่องจากความน่าจะเป็นระหว่าง 1/2 กับ 2/3 มันใกล้เคียงกันมาก ลองมาสมมติเหตุการณ์ใหม่ให้มีประตู 100 บาน กติกาเหมือนเดิมคือให้เลือก 1 บาน แล้วพิธีกรก็จะเปิดอีกบานที่ว่างแปล่า แล้วถามเราว่าจะเปลี่ยนเป็นบานอื่นมั้ย สมมุติว่าเรายืนยันไม่เปลี่ยน พิธีกรก็จะค่อยๆ เปิดประตูไปทีละบานๆ จนกระทั่งเหลือสองบานสุดท้าย คือบานที่เราเลือกตอนแรก กับบานที่ยังไม่ถูกเปิด คราวนี้เราจะเปลี่ยนประตูมั้ย? เราจะสุ่มถูกตั้งแต่ตอน 1 ใน 100 เลยเหรอ?

         (นี่ก็เหมือนการให้เลือกระหว่าง 'ประตูเดิม' ซึ่งโอกาสถูก 1/100 กับ 'ประตูอื่นที่เหลือ' ซึ่งถูกทบรวมกันเป็น 99/100 ในบานเดียวแล้วนั่นเอง เห็นชัดมากว่าควรเปลี่ยน! : ตรงนี้ผมขออธิบายเสริมครับ)

         สถิติ (และความน่าจะเป็น) เป็นวิชาที่น่าสนใจ หลายคนที่ไม่เข้าใจแก่นของมันก็มักจะยึดติดกับตัวเลขที่คำนวณมาได้ ทั้งๆ ที่ชาวสถิติหลายคนเข้าใจกันดีว่า เทคนิคการคำนวณขั้นสูงที่เราใช้กันนั้น มันยังมีโอกาสคลาดเคลื่อนผิดพลาดอยู่เสมอ "ยิ่งถ้าเราได้ข้อมูลเพิ่มขึ้น เราต้องอัพเดทค่าทางสถิติใหม่" ไม่ใช่ยึดติดกับค่าเดิม ซึ่งนี่เป็นที่มาของ "ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข" นั่นเอง


         ป.ล. เกมโชว์นี้มีอยู่จริงในอดีตด้วยนะครับ และเรื่องควรเปลี่ยนใจหรือไม่นั้น เริ่มมีการถกกันในคอลัมน์ตอบจดหมายของนิตยสารฉบับหนึ่งในสหรัฐอเมริกา เมื่อปี 1990 โดยเรียกกันว่า "Monty Hall Problem" (ตั้งตามชื่อพิธีกรคนนั้น)
         อ่านรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

==============================================

         ถ้าข้อเมื่อกี๊ยากไป เรามาปิดท้ายด้วยโจทย์ลับสมอง บวกลบคูณหาร กันบ้างไหมครับ ผมว่าข้อนี้ก็มีแง่มุมที่น่าสนใจอยู่เหมือนกัน

         มีเลขโดด "1, 1, 5, 8" (ใช้ได้ตัวละหนึ่งครั้ง) ให้ดำเนินการบวก-ลบ-คูณ-หรือหารกันเท่านั้น แล้วให้ได้ผลลัพธ์เท่ากับ 10 ครับ

         ลองเก็บไปคิดเป็นการบ้านแล้วค่อยมาดูเฉลยก็จะเป็นการดีนะครับ ผมจะใส่เฉลยไว้ในช่องความคิดเห็นด้านล่างครับ อย่าเพิ่งไปมองนะ ฮ่าๆๆ ถ้าคิดไม่ออก ผมขอใบ้ให้ลองคิดข้อนี้ก่อนครับ "3, 3, 7, 7" ทำให้ได้ผลลัพธ์เท่ากับ 24 ..เพราะมีหลักการคิดเดียวกันแต่จะง่ายกว่านิดนึงครับ

         แล้วถ้ามีโอกาส เรามาพบกันใหม่ในตอนถัดไปครับ ดูว่าผมจะขุดเรื่องอะไรมาเล่าได้อีก อิๆๆ ^ ^
นวย 05/11/54 00:09 
         เฉลยวิธีคิดคือ 8 / (1 - 1/5) = 10 คร้าบ ^ ^

         หรือถ้าค่อยๆ อธิบายทีละขั้นก็คือ 1 หารด้วย 5 ได้ 0.2, เอา 1 อีกตัวมาลบด้วย 0.2 เหลือ 0.8, แล้วสุดท้ายก็เอา 8 มาหารด้วย 0.8 ก็จะได้ 10 นั่นเอง (ถ้าไม่ชอบมองเป็นทศนิยม จะมองในรูปเศษส่วนก็ได้นะครับ)

         เชื่อไหมครับโจทย์นี้ผมนั่งคิดข้ามวันเลยทีเดียว กว่าจะตอบได้ ^ ^"

         ความยากที่ทำให้หลายคนมองไม่ออกก็คือ ต้องอาศัยการลบและหาร เพราะด้วยสัญชาตญาณเราจะพยายามบวกหรือคูณ เลขที่น้อยกว่า 10 ให้กลายเป็น 10 ..ดังนั้นโจทย์ "3 3 7 7 ทำเป็น 24" อาจจะมีคนคิดออกเยอะกว่าหน่อยเพราะเป็นการบวกและคูณล่ะคร้าบ
นวย 05/11/54 00:10  [ 1 ] 
ไอ้ 1 1 5 8 นี่ เจอทีไรก็อึ้งทุกที ขนาดเจอตั้งหลายทีแล้วนะ
บวก กับ คูณ นี่มันช่างฝังแน่นในจิตใจ  - -"

อ๊ะ.. เอาใหม่ ต้องพูดให้ดูหล่อๆ ว่า "เพราะเราเป็นคนคิดบวก"  555
Shauฯ(6)  06/11/54 20:35  [ 2 ] 
วิธีพิมพ์สมการดูได้ที่กระทู้ 0072 ครับ      
อัปโหลดรูป/ไฟล์
ถ้าไม่มีรหัสส่วนตัว กรุณาใส่เลขหน้า "ความน่าจะเป็น" ใน Math E-Book .. หรือตั้งรหัสได้ ที่นี่

ทดลองพิมพ์สมการ