ข้อสอบ PAT1 มีนาคม 2560 + เฉลยคำตอบตอบ: 2, อ่าน: 5481, แท็ก: PAT1
หมายเหตุ พิมพ์เพื่อทดสอบสัญลักษณ์คณิตในบอร์ดครับ
โค้ดต้นฉบับ แสดงสมการ
ตอนที่ 1
1. ให้
$A$,
$B$ และ
$C$ เป็นเซตใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้า
$A-B = \emptyset $ แล้ว
$A=B$
(ข) ถ้า
$C-(A\cap B) = C-B$ แล้ว
$A\subset B$
(ค)
$A\cap B\cap C = [(A\cup B)\cap C]\cap [(A\cap B)\cup C]$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ (ก) และ (ข) ถูก แต่ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ (ค) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ (ค) ถูก แต่ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
2. จากการสำรวจนักเรียนกลุ่มหนึ่งจำนวน 80 คน เกี่ยวกับการเป็นสมาชิกของชมรม 3 ชมรม
คือ ชมรมคณิตศาสตร์ ชมรมการแสดง และชมรมกีฬา ปรากฏว่า
มี 30 คนเป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์
โดยในจำนวนนี้มีนักเรียน 20 คนเท่านั้นที่เป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์เพียงชมรมเดียว
มี 5 คนที่เป็นสมาชิกของชมรมการแสดงและชมรมกีฬา แต่ไม่เป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์
และ มี 10 คนที่ไม่เป็นสมาชิกของชมรมใดเลย
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) มี 15 คน ที่เป็นสมาชิกของชมรมอย่างน้อย 2 ชมรม
(ข) มี 55 คน ที่เป็นสมาชิกของชมรมใดชมรมหนึ่งเพียง 1 ชมรมเท่านั้น
(ค) มี 50 คน ที่เป็นสมาชิกของชมรมการแสดงหรือชมรมกีฬา
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ (ก) และ (ข) ถูก แต่ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ (ค) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ (ค) ถูก แต่ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
3. กำหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ โดยที่
$[p\to (q\to\;\sim r)]\wedge q$ มีค่าความจริงเป็น
จริง
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ มีค่าความจริงเป็น
เท็จ
1.
$(p\wedge q )\leftrightarrow (p\wedge r)$ 2.
$(p\vee q )\leftrightarrow (p\wedge r)$
3.
$(p\to q)\leftrightarrow (p\vee r)$ 4.
$q\to (\sim p\wedge r)$
5.
$\sim (p\wedge q)\to (q\;\wedge \sim r)$
4. ค่าของ
$2(\arctan {1\over 8} - \arctan {2 \over 3})$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1.
$\arcsin{4\over5}$ 2.
$-\arcsin{4\over5}$ 3.
$\pi-\arcsin{4\over5}$
4.
$-\arctan{3\over4}$ 5.
$\pi-\arctan{3\over4}$
5. กำหนดให้
$a = \cos 50^\circ + \cos 20^\circ $ และ
$b = \sin 50^\circ - \sin 20^\circ $
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1.
$\sin 20^\circ = {{{a^2}+{b^2}}\over 2}$ 2.
${\sin ^2} 35^\circ = {{{a^2}+{b^2}}\over 4}$ 3.
${\cos ^2} 35^\circ = ab$
4.
${\tan ^2} 35^\circ = {{{a^2} + {b^2}} \over {4ab}}$ 5.
$\cos 70^\circ = {(a + b)^2} - 1$
6. ให้
$\bar u$,
$\bar v$ และ
$\bar w$ เป็นเวกเตอร์ที่ไม่เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ อยู่บนระนาบเดียวกัน
โดยที่
$\bar u - \bar v - \bar w = \bar 0$,
$\left| { \bar u } \right| = \sqrt 2 \left| { \bar w } \right|$ และ
$\left| { \bar v } \right| = \sqrt 3 \left| { \bar w } \right|$
ถ้า
$\theta $ เป็นมุมระหว่าง
$\bar u$ และ
$\bar v$ แล้ว
$\sin \theta $ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
${1 \over 2}$ 2.
${{\sqrt 3 } \over 2}$ 3.
${{\sqrt 3 } \over 3}$ 4.
${{\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }}$ 5.
${1 \over 3}$
7. กำหนดให้
$0 < \theta < 90^\circ $
ถ้า
$m = {1 \over 4}(1 + \sin \theta )\cot \theta $ และ
$n = {1 \over 4}(1 - \sin \theta )\cot \theta $
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก)
${( {m^2} - {n^2})^2} = m n$ (ข)
$\sin \theta = {{m - n} \over {m + n}}$
(ค)
${m^2} + {n^2} = {1 \over 8}{\cot ^2} \theta\,{\cos ^2} \theta $
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ (ก) และ (ข) ถูก แต่ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ (ค) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ (ค) ถูก แต่ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
8. ให้
$x_1$,
$x_2$,
$x_3$, ... ,
$x_{10}$ เป็นข้อมูลที่เรียงค่าจากน้อยไปหามาก โดยมีค่ากึ่งกลางพิสัยเท่ากับ
$15$
และให้
$y_i = {1 \over 2}({x_i} + {x_{i + 1}})$ สำหรับ
$i = 1,2, ... ,9$
ถ้า
$y_1$,
$y_2$,
$y_3$, ... ,
$y_9$ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ
${55} \over 3$
แล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
$x_1 + 1$,
$x_2 + 2$,
$x_3 + 3$, ... ,
$x_{10} + 10$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 23.5 2. 28 3. 29 4.
${88} \over 3$ 5.
${100} \over 3$
9. ให้
$L$ เป็นจำนวนจริงบวก และ
$a_1$,
$a_2$,
$a_3$, ... ,
$a_n$, ... เป็นลำดับเรขาคณิตของจำนวนจริง
โดยที่
$\sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n} = L$ และ
$\sum\limits_{n = 1}^3 {a_n} = {L \over 3}$
ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1.
${a_4} = {2 \over 3}{a_1}$ 2.
${a_{14}} = {{16} \over {81}}{a_2}$ 3.
$3({a_7} + {a_8} + {a_9}) = 2({a_4} + {a_5} + {a_6})$
4.
$\sum\limits_{n = 7}^{12} {{a_n}} = {{16} \over {81}}L$ 5.
$\sum\limits_{n = 10}^\infty {{a_n}} = {8 \over {27}}L$
10. ให้
$C$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม
${x^2} + {y^2} - 2 k y = 0$ เมื่อ
$k > 0$
ให้
$T$ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด
$A(-5,4)$ และสัมผัสวงกลมที่จุด
$B$
โดยระยะทางระหว่างจุด
$A$ และจุด
$B$ เท่ากับ
$1$ หน่วย
ถ้า
$H$ เป็นไฮเพอร์โบลามีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด
$C$ แกนสังยุคยาว
$2k$ หน่วยและขนานกับแกน
$X$
และเส้นกำกับเส้นหนึ่งผ่านจุด
$A$ และจุด
$C$ แล้ว สมการของไฮเพอร์โบลา
$H$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1.
${x^2} - 25{y^2} + 250y - 600 = 0$ 2.
${x^2} - 25{y^2} - 250y + 624 = 0$
3.
${x^2} - 25{y^2} - 250y + 650 = 0$ 4.
$25{x^2} - {y^2} + 10y + 50 = 0$
5.
$25{x^2} - {y^2} + 10y - 50 = 0$
11. ให้
$x > 0$ และให้
$S$ แทนอนุกรม
$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{(-1)}^{n+1}}{{(\log x)}^n}$
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ถ้า
$x < 10$ แล้ว อนุกรม
$S$ เป็นอนุกรมลู่เข้า
(ข) ถ้า
$x = 100$ แล้ว อนุกรม
$S$ เป็นอนุกรมลู่ออก
(ค) ถ้า
$x = {1\over {10}}$ แล้ว ผลบวก
$100$ พจน์แรกของอนุกรม
$S$ เท่ากับ
$-100$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ (ก) และ (ข) ถูก แต่ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ (ค) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ (ค) ถูก แต่ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
12. กล่องใบหนึ่งมีบัตร 7 ใบ แต่ละใบเขียนจำนวน –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 กำกับบนบัตร
ใบละ 1 จำนวน สุ่มหยิบบัตร 2 ใบพร้อมกันจากกล่องใบนี้ ความน่าจะเป็นที่จะได้บัตร 2 ใบ
มีผลรวมของจำนวนบนบัตรทั้งสองเป็นจำนวนคู่หรือเป็นจำนวนเต็มบวก เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
$2 \over 7$ 2.
$3 \over 7$ 3.
$4 \over 7$ 4.
$5 \over 7$ 5.
$6 \over 7$
13. กำหนดให้
$ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยมี
$A$,
$B$ และ
$C$ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม
ให้
$\bar a = \overrightarrow{AB}$,
$\bar b = \overrightarrow{BC}$ และ
$\bar c = \overrightarrow{CA}$
ถ้า
$\bar a \cdot \bar b = - 15$,
$\bar b \cdot \bar c = - 21$ และ
$\bar c \cdot \bar a = - 10$
แล้ว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
$ABC$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
$7\sqrt 2 $ ตารางหน่วย 2.
$8\sqrt 2 $ ตารางหน่วย 3.
${{15\sqrt 2 } \over 2}$ ตารางหน่วย
4.
$5\sqrt 3 $ ตารางหน่วย 5.
${{15\sqrt 3 } \over 2}$ ตารางหน่วย
14. กำหนดให้ข้อมูลชุดที่ 1 คือ
$x_1$,
$x_2$,
$x_3$, ... ,
$x_{10}$ และข้อมูลชุดที่ 2 คือ
$y_1$,
$y_2$,
$y_3$, ... ,
$y_{10}$
โดยที่
$x_1$,
$x_2$,
$x_3$, ... ,
$x_{10}$ เป็นจำนวนจริงบวก และ
${y_i} = 2 {x_i} + 1$ สำหรับ
$i = 1,2,3,...,10$
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ 2 มีค่ามากกว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดที่ 1
(ข) สัมประสิทธิ์การแปรผันของข้อมูลชุดที่ 2 มีค่าน้อยกว่าสัมประสิทธิ์การแปรผันของข้อมูลชุดที่ 1
(ค) ถ้าแต่ละ
$x_i$ มีค่าเพิ่มขึ้น
$1$ หน่วย แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดที่ 2 มีค่าเพิ่มขึ้น
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ (ก) และ (ข) ถูก แต่ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ (ค) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ (ค) ถูก แต่ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
15. กำหนดให้
$A$ และ
$B$ เป็น
$n \times n$ เมทริกซ์ เมื่อ
$n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก)
$\det (AB - BA) = 0$
(ข) ถ้า
$\det (A) \ne 0$ และ
$\det (B) = 0$ แล้ว
$\det (A+B) \ne 0$
(ค) ถ้า
$\det (A) \ne 0$,
$\det (B) \ne 0$ และเมทริกซ์
$A+B$ มีอินเวอร์สการคูณ
แล้ว
${(A+B)^{-1}} = {B^{-1}} + {A^{-1}}$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ (ก) ถูกเพียงข้อเดียว 2. ข้อ (ข) ถูกเพียงข้อเดียว
3. ข้อ (ค) ถูกเพียงข้อเดียว 4. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
นวย
16. ให้
$P$ เป็นพาราโบลารูปหนึ่ง มีโฟกัสอยู่บนเส้นตรง
$x+2y = 4$
และสมการของแกนสมมาตรคือ
$y = 3$
ถ้า
$P$ มีเส้นไดเรคตริกซ์เป็นเส้นตรงเดียวกันกับเส้นไดเรคตริกซ์ของพาราโบลา
${y^2} + 8y - 24x + 16 = 0$ แล้ว พาราโบลา
$P$ ผ่านจุดในข้อใดต่อไปนี้
1.
$(-7,1)$ 2.
$(-4,0)$ 3.
$(1,-1)$ 4.
$(2,-4)$ 5.
$(4,-5)$
17. ให้
$a$,
$b$ และ
$c$ เป็นจำนวนจริง
ถ้ากราฟของ
$f (x) = a{x^2} + bx + c$ ผ่านจุด
$(0,1)$,
$(1,3)$ และจุด
$(2,2)$
แล้ว พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
$y = f(x)$ และเส้นตรง
$y = x$
จาก
$x = 0$ ถึง
$x = 2$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
${5 \over 2}$ ตารางหน่วย 2.
${8 \over 3}$ ตารางหน่วย 3. 3 ตารางหน่วย
4.
${7 \over 2}$ ตารางหน่วย 5. 5 ตารางหน่วย
18. ถ้า
$A$ เป็นเซตคำตอบของอสมการ
${x^2} + 2 \left| { x - 3 } \right| - 9 > 0$
และ
$B$ เป็นเซตคำตอบของอสมการ
$\left| { x - 3 } \right| < 2$
แล้ว
$A \cap B$ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
1.
$(4,\infty)$ 2.
$(-\infty,1)$ 3.
$(-1,3)$ 4.
$(3,6)$ 5.
$(0,4)$
19. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ
$\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$
ให้ P(x) แทน
$\left| { x } \right| \geq x$ และ Q(x) แทน
$\left| { x } \right| < \left| { x + 1 } \right| + 1$
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ประพจน์
$\exists x[\sim Q (x)] \to \exists x[\sim P (x)]$ มีค่าความจริงเป็น
จริง
(ข) ประพจน์
$\forall x[P (x)] \to \forall x[\sim Q (x)]$ มีค่าความจริงเป็น
เท็จ
(ค) ประพจน์
$\exists x[P (x)] \to \exists x[Q (x)]$ มีค่าความจริงเป็น
จริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ (ก) และ (ข) ถูก แต่ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ (ค) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ (ค) ถูก แต่ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
20. ถ้าคะแนนสอบวิชาหนึ่งของนักเรียนจำนวน
$80$ คนมีการแจกแจงปกติ
และมีสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ
$1 \over 3$
มีนักเรียนคนหนึ่งในห้องนี้สอบได้
$39$ คะแนน คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ
$1.5$
และมีนักเรียนจำนวน
$60$ คนที่มีคะแนนสอบมากกว่า
$15$ คะแนน
แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
$9.5$ คะแนน 2.
$10$ คะแนน 3.
$10.5$ คะแนน
4.
$11$ คะแนน 5.
$11.5$ คะแนน
21. กำหนดให้
$\mathbb{R}$ แทนเซตของจำนวนจริง
ให้
$r = \{ (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \;|\; y = \sqrt {32x - 16{x^2}} \}$
ถ้า
$A$ และ
$B$ เป็นโดเมนและเรนจ์ของ
$r$ ตามลำดับ
แล้ว
$B - A$ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
1.
$(-1,2)$ 2.
$(0,3)$ 3.
$(1,4)$ 4.
$(2,6)$ 5.
$(3,\infty)$
22. ถ้า
$A$ เป็นเซตคำตอบของอสมการ
$({x^2} - 2x - 16){\log _2}(2 - \sqrt 3 ) < {\log _2}(2 + \sqrt 3 )$
แล้ว
$A$ เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
1.
$(-\infty,-3) \cup (4,\infty)$ 2.
$(-\infty,-4) \cup (3,\infty)$ 3.
$(-4,3)$
4.
$(-3,6)$ 5.
$(-1,9)$
23. กำหนดให้
$\mathbb{R}$ แทนเซตของจำนวนจริง
ให้
$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ และ
$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชัน มีนิยามโดย
$f(x) = \left| {x-1} \right| + \left| {x+1} \right|$ และ
$g(x) = {x \over {{x^2} + 1}}$ สำหรับทุกจำนวนจริง x
ถ้า
$a$ และ
$b$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่
$a+b = 1$
แล้ว
$(g \circ f)(a) + (f \circ g)(b)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
$1.4$ 2.
$1.8$ 3.
$2.4$ 4.
$2.8$ 5.
$3.4$
24. ถ้า
$x$ และ
$y$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ
${3^{(8 - 2x)}}{4^{(x + y)}} = 384({9^y})$ และ
${5^{(3x - 2y - 3)}} = 1$
แล้ว ค่าของ
$xy$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
$2$ 2.
$3$ 3.
$3.5$ 4.
$5$ 5.
$7.5$
25. กำหนดให้
$\mathbb{I}$ แทนเซตของจำนวนเต็ม และ
$\mathbb{R}$ แทนเซตของจำนวนจริง
สำหรับจำนวนจริง
$x$ ใดๆ
นิยาม $\left[ {x} \right]$ หมายถึงจำนวนที่มีค่ามากที่สุดของเซต
$\{ n \in \mathbb{I} \;|\; n \leq x\} $
ถ้า
$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันกำหนดโดย
$f(x) = 10\left[ {{x + 5} \over {10}} \right] + \left[ {x + {1 \over 2}} \right] + {1 \over {10}}\left[ {5 - 6x} \right]$ เมื่อ
$x \in \mathbb{R}$
แล้ว ค่าของ
$f (2.4)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
$3.2$ 2.
$2.1$ 3.
$2$ 4.
$1.1$ 5.
$1$
26. ให้
$A$ เป็นเซตของจำนวนจริง
$x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$\sqrt { 6x - 2 } - \sqrt { 2x + 7 } = 1$
ผลบวกของกำลังสองของสมาชิกทั้งหมดในเซต
$A$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
$10.5$ 2.
$14.25$ 3.
$20.25$ 4.
$21.25$ 5.
$30.5$
27. ให้
$R_1$,
$R_2$,
$R_3$,
$R_4$,
$R_5$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก 5 รูป มีข้อมูลดังนี้
| $R_1$ | $R_2$ | $R_3$ | $R_4$ | $R_5$
|
| ความกว้าง (x) | $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $x_4$ | $x_5$
|
| ความยาว (y) | $y_1$ | $y_2$ | $y_3$ | $y_4$ | $y_5$ |
โดยที่
$0 < {x_i} \leq 10$ สำหรับ
$i = 1,2,3,4,5$
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความกว้างของรูปสี่เหลี่ยม 5 รูป เท่ากับ
$5$ หน่วย
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวของรูปสี่เหลี่ยม 5 รูป เท่ากับ
$8$ หน่วย
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม 5 รูป เท่ากับ
$51.8$ ตารางหน่วย
และความแปรปรวนของความกว้างเท่ากับ
$12$
สมมติว่ากราฟแผนภาพการกระจายที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างความกว้าง
และความยาวอยู่ในรูปแบบเส้นตรง ถ้าสร้างรูปสี่เหลี่ยมมีความกว้าง 2 หน่วย
แล้ว ความยาว (โดยประมาณ) ของรูปสี่เหลี่ยมนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
$5.05$ หน่วย 2.
$5.55$ หน่วย 3.
$5.75$ หน่วย
4.
$6.05$ หน่วย 5.
$6.55$ หน่วย
28. นิยาม $a*b = 1+ab$ สำหรับ
$a$ และ
$b$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก)
$a * (1 * a) = (a * 1 ) * a$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม
$a$
(ข)
$a * (b * c) = (a * b) * c$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม
$a$,
$b$ และ
$c$
(ค)
$( (1 * 2) * 3) * 4$ เป็นจำนวนเฉพาะ
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ข้อ (ก) และ (ข) ถูก แต่ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ (ค) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ (ค) ถูก แต่ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5. ข้อ (ก) (ข) และ (ค) ผิดทั้งสามข้อ
29. ให้
$x$,
$y$ และ
$z$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่
$x + y + z = 15$
และสอดคล้องกับ
${(z + 1 )^x} = {y^{2x}}$ และ
${(0.1 )^z} = {(0.01 )^x}$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1.
$x < y < z$ 2.
$y < x < z$ 3.
$x < z < y$
4.
$y < z < x$ 5.
$z < y < x$
30. กำหนดให้เส้นตรง
$L$ ผ่านจุด
$A(2,0)$ และจุด
$B(-4,8)$
ให้เส้นตรง
$M$ ผ่านจุด
$B$ และจุด
$C(-a,0)$ เมื่อ
$a > 0$
ถ้าระยะระหว่างจุด
$C$ กับเส้นตรง
$L$ เท่ากับ
${48} \over 5$ หน่วย
แล้ว ระยะห่างระหว่างจุดกำเนิด
$(0,0)$ กับเส้นตรง
$M$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
$7$ หน่วย 2.
$8$ หน่วย 3.
$10.5$ หน่วย
4.
$13.5$ หน่วย 5.
$15$ หน่วย
นวย
ตอนที่ 2
31. ให้
$A$ เป็นเซตของจำนวนจริง
$x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ
${\log_2} x + {\log_3} x \geq ({\log_2} x)({\log_3} x)$
และให้
$a$ เป็นขอบเขตล่างมากที่สุดของเซต
$A \cap [0,9]$
และ
$b$ เป็นขอบเขตบนน้อยที่สุดของเซต
$A \cap [0,9]$ ค่าของ
$a + b$ เท่ากับเท่าใด
32. มีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 7 ลูก เป็นลูกแก้วสีแดง 2 ลูก ลูกแก้วสีเขียว 2 ลูก และลูกแก้ว
สีขาว 3 ลูก ต้องการจัดเรียงลูกแก้วทั้ง 7 ลูกเป็นแถวตรง โดยที่ลูกแก้วสองลูกใดๆ ที่เรียงติดกัน
มีสีแตกต่างกัน จำนวนวิธีจัดเรียงลูกแก้วดังกล่าวเท่ากับเท่าใด
33. กำหนดให้
$f (x) = 2x + 5$ และ
$g (x) = a{x^2} + bx + c$ เมื่อ
$a$,
$b$ และ
$c$ เป็นจำนวนจริง
ถ้า
$({f^{-1}} \circ g)(0) = 2$,
$\int_{0}^1 {{f^{-1}}(g(x)) dx} = 1$ และ
$({f^{-1}} \circ g)(x)$ มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่
$x = 1$
แล้ว ค่าของ
$g(1)$ เท่ากับเท่าใด
34. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงความถี่ดังนี้
| ช่วงคะแนน | จำนวนนักเรียน
|
66 – 70
71 – 75
76 – 80
81 – 85
86 – 90
91 – 95
96 – 100
| 2
3
a
5
7
b
8 |
เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้าเปอร์เซนไทล์ที่ 25 ของคะแนนสอบนี้เท่ากับ 80.5 คะแนน
และส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ 7.5
แล้ว จำนวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนมากกว่า 80 คะแนนเท่ากับเท่าใด
35. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ
ถ้านักเรียนที่สอบได้คะแนนน้อยกว่า 74 คะแนน มีจำนวนคิดเป็นร้อยละ 97.73
และนักเรียนที่สอบได้คะแนน 53 คะแนน จะตรงกับเปอร์เซนไทล์ที่ 6.68
แล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มนี้เท่ากับเท่าใด
กำหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง 0 ถึง z ดังนี้
| z | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5
|
| A | 0.1915 | 0.3413 | 0.4332 | 0.4773 | 0.4938 |
36. กำหนดให้
$\mathbb{I}$ เป็นเซตของจำนวนเต็ม ให้
$f : \mathbb{I} \to \mathbb{I}$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่
$f(n) = \left\{\matrix{(f \circ f)(n-4)\;, && n>60 \\ n+3\;, && n\leq 60}\right.$
ค่าของ
$f(f(f(60)))$ เท่ากับเท่าใด
37. กำหนดให้
$AX = B$ เป็นสมการเมทริกซ์ โดยที่
$A = \left[\matrix{{1} & {-2} & {2} \cr {b} & {-a} & {0} \cr {3} & {-1} & {-1}}\right]$ $X = \left[\matrix{{x} \cr {y} \cr {z}}\right]$ และ
$B =\left[\matrix{{9} \cr {a} \cr {-10}}\right]$ เมื่อ
$a$ และ
$b$ เป็นจำนวนจริง
ถ้า
$\det (A) = 15$ และ
$y = 1$ เป็นคำตอบของระบบสมการนี้ แล้ว
${(a-b)^2}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
38. ค่าของ
$\lim_{x\to 3} {{{3^x}{x} \;-\; {3^{(x+1)}}} \over {\sqrt[3]{{x - 2}}\;-\;1}}$ เท่ากับเท่าใด
39. กำหนดให้
$z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ
$(1 + i )\bar z + (3 - i )z = 6 + 2 i$
เมื่อ
${i^2} = - 1$ และ
$\bar z$ แทนสังยุค (conjugate) ของ
$z$
ค่าของ
$\left| { (z - \bar z)(z + \bar z) } \right|$ เท่ากับเท่าใด
40. กำหนดให้
$a_1$,
$a_2$,
$a_3$, ... ,
$a_n$, ... เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนเต็มบวก
โดยที่
${a_1} = 1$ และ
${a_8} = 36$
ถ้า
${1 \over {\sqrt {{a_1}} + \sqrt {{a_2}} }} + {1 \over {\sqrt {{a_2}} + \sqrt {{a_3}} }} + {1 \over {\sqrt {{a_3}} + \sqrt {{a_4}} }} + ... + {1 \over {\sqrt {{a_{n - 1}}} + \sqrt {{a_n}} }} = 3$
แล้ว
$n$ เท่ากับเท่าใด
41. กำหนดให้
$a$ เป็นจำนวนจริง และ
$f(x) = \left\{\matrix{x + \sqrt {{x^2}+5}\;, && x\geq a \\ {{15} \over {\sqrt {{x^2} + 5} }}\;, && x<a}\right.$
ถ้าฟังก์ชัน
$f$ มีความต่อเนื่องทุกจำนวนจริง
$x$
แล้ว ค่าของ
$f(a) + f(-a)$ เท่ากับเท่าใด
42. ถ้า
$2{\sin ^2} \theta = 3\cos \theta $ เมื่อ
$0 \leq \theta \leq {\pi \over 2}$
แล้ว ค่าของ
$\mathrm{cosec}^2({\pi \over 2} - \theta )\,{\cos ^2} \theta + {{\tan \theta } \over {\mathrm{cosec} 2\theta }}$ เท่ากับเท่าใด
43. ให้
$A$ เป็นเซตของจำนวนจริง
$x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
${4^x} - 4 ({4^{\sqrt x }}) = 3 ( {2^{x + \sqrt x }})$
ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต
$A$ เท่ากับเท่าใด
44. ผลการสำรวจกลุ่มคนจำนวน 120 คน เกี่ยวกับสายตาปกติและสายตาสั้น พบว่า
อัตราส่วนของจำนวนคนที่มีสายตาปกติต่อจำนวนคนที่มีสายตาสั้นเป็น 3:2
ในกลุ่มคนที่มีสายตาปกติ มีอัตราส่วนของจำนวนผู้หญิงต่อจำนวนผู้ชายเป็น 5:1
ในกลุ่มคนที่มีสายตาสั้น มีอัตราส่วนของจำนวนเด็กต่อจำนวนผู้ใหญ่เป็น 1:3
ผลรวมของจำนวนผู้หญิงที่มีสายตาปกติและจำนวนเด็กที่มีสายตาสั้นเท่ากับเท่าใด
45. ให้
$a$ และ
$b$ เป็นจำนวนจริงบวก
กำหนดให้
$P = ax - 15y$ เป็นฟังก์ชันจุดประสงค์ โดยมีอสมการข้อจำกัดดังนี้
$3x + by \geq 9$ $3x + 2 by \leq 18$ $1 \leq x \leq 5$ และ
$y \geq 0$
ถ้าค่าของ
$P$ มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับ
$–8.25$ และค่าของ
$P$ มีค่ามากที่สุดเท่ากับ
$15$
แล้ว ค่าของ
${a^2} + {b^2}$ เท่ากับเท่าใด
เฉลยคำตอบ
1. 5
2. 4
3. 2
4. 2
5. 3
6. 3
7. 1
8. 1
9. 4
10. 1
11. 3
12. 4
13. 5
14. (5)
15. 5
16. 5
17. 3
18. 4
19. 3
20. 4
21. 4
22. 1
23. 3
24. 2
25. 5
26. 3
27. 1
28. 2
29. 2
30. 2
31. 7
32. 38
33. 6
34. 24
35. 62
36. 63
37. 9
38. 81
39. 4
40. 52
41. 10
42. 2.5
43. 4
44. 72
45. 109
นวย
แสดงความเห็นจาก